Nos itens abaixo, determine se
é ou não um subespaço de
.
é o conjunto de todos os vetores de
tais que
.
Passo 1
Beleza, vamos analisar o exercício que você enviou. A gente precisa descobrir se o conjunto
, que inclui todos os vetores em
onde o produto das componentes
é igual a zero, é um subespaço de
. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear sobre subespaços vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto
de um espaço vetorial
é um subespaço se:
- O vetor zero de
está em . - Se dois vetores estão em
, a soma deles também está em . - Se um vetor está em
e multiplicamos ele por um escalar, o resultado também está em .
Vamos verificar cada uma dessas condições para
.
Passo 3
1. O vetor zero está em
:
O vetor zero em
é
.
Calculando o produto das componentes:
.
Então, o vetor zero está em
. Passamos na primeira condição.
Passo 4
2. Fechamento sob adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer em
. Seja
e
, onde
e
.
Agora, somamos esses vetores:
.
Para
estar em
, o produto
deve ser igual a zero.
Mas isso nem sempre acontece. Por exemplo:
- Seja
e . - Então,
. - O produto das componentes:
.
Logo, a soma de dois vetores em
nem sempre está em
. Portanto,
não é fechado sob adição.
Passo 5
3. Fechamento sob multiplicação por escalar:
Ainda que já tenhamos visto que
não é um subespaço por não atender à segunda condição, vamos verificar a terceira condição por completude.
Pegue um vetor
em
, onde
, e um escalar
.
Multiplicando o vetor por
:
.
O produto das componentes de
é
.
Então,
está em
. Passamos na terceira condição.
Resposta
Como o conjunto
não satisfaz a condição de fechamento sob adição,
não é um subespaço de
.
Exercícios relacionados
Nos itens abaixo, determine se
é ou não um subespaço de
.
é o conjunto de todos os vetores de
tais que
.
Calcule a distância entre os vetores:
e
Nos itens abaixo, expresse o vetor
como uma combinação linear dos vetores
, se isto for possível. Em caso negativo, demonstre a impossibilidade.
Nos itens abaixo, suponha que os vetores
sejam linearmente independentes. Aplique a definição de independência linear para demonstrar que os vetores
também são linearmente independentes.
.