Nos itens abaixo, determine se é ou não um subespaço de .
é o conjunto de todos os vetores de tais que .

Passo 1

Beleza, vamos analisar o exercício que você enviou. A gente precisa descobrir se o conjunto , que inclui todos os vetores em onde o produto das componentes é igual a zero, é um subespaço de . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear sobre subespaços vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto de um espaço vetorial é um subespaço se:
  1. O vetor zero de está em .
  2. Se dois vetores estão em , a soma deles também está em .
  3. Se um vetor está em e multiplicamos ele por um escalar, o resultado também está em .
Vamos verificar cada uma dessas condições para .

Passo 3

1. O vetor zero está em :
O vetor zero em é .
Calculando o produto das componentes: .
Então, o vetor zero está em . Passamos na primeira condição.

Passo 4

2. Fechamento sob adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer em . Seja e , onde e .
Agora, somamos esses vetores: .
Para estar em , o produto deve ser igual a zero.
Mas isso nem sempre acontece. Por exemplo:
  • Seja e .
  • Então, .
  • O produto das componentes: .
Logo, a soma de dois vetores em nem sempre está em . Portanto, não é fechado sob adição.

Passo 5

3. Fechamento sob multiplicação por escalar:
Ainda que já tenhamos visto que não é um subespaço por não atender à segunda condição, vamos verificar a terceira condição por completude.
Pegue um vetor em , onde , e um escalar .
Multiplicando o vetor por : .
O produto das componentes de é .
Então, está em . Passamos na terceira condição.

Resposta

Como o conjunto não satisfaz a condição de fechamento sob adição, não é um subespaço de .

Exercícios relacionados

Nos itens abaixo, determine se é ou não um subespaço de .
é o conjunto de todos os vetores de tais que .
Calcule a distância entre os vetores: e
Nos itens abaixo, expresse o vetor como uma combinação linear dos vetores , se isto for possível. Em caso negativo, demonstre a impossibilidade.
Nos itens abaixo, suponha que os vetores sejam linearmente independentes. Aplique a definição de independência linear para demonstrar que os vetores também são linearmente independentes.
.