Nos itens abaixo, determine se é ou não um subespaço de .
é o conjunto de todos os vetores de tais que

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir se o conjunto é um subespaço de . Aqui, é formado por todos os vetores de que satisfazem a condição . Para resolver isso, vamos usar os critérios que definem um subespaço vetorial. Precisamos verificar três coisas: se o zero está em , se é fechado sob adição e se é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se o vetor zero está em . O vetor zero em é . Substituindo na condição:
Isso é verdadeiro, então o vetor zero está em .

Passo 3

Agora, vamos verificar se é fechado sob adição. Isso significa que se pegarmos dois vetores quaisquer em , a soma deles também deve estar em .
Seja e em . Então, temos:
Somando os dois vetores:
Vamos verificar a condição para :
Isso simplifica para:
Como e , a igualdade é satisfeita. Portanto, está em .

Passo 4

Por último, vamos ver se é fechado sob multiplicação por escalar. Isso quer dizer que se multiplicarmos qualquer vetor de por um número real, o resultado também deve estar em .
Seja em e um escalar real. Então:
Verificando a condição para :
Como , temos:
Isso confirma que está em .

Resposta

Sim, é um subespaço de .

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é o conjunto de todos os vetores de tais que .
Nos itens abaixo, determine se é ou não um subespaço de .
é o conjunto de todos os vetores de tais que e .
Nos itens abaixo, determine se é ou não um subespaço de .
é o conjunto de todos os vetores de cujas as componentes são todas diferentes de zero.
Mostre que todo subespaço de um espaço vetorial contém o vetor nulo .