Nos itens abaixo, determine se
é ou não um subespaço de
.
é o conjunto de todos os vetores de
tais que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir se o conjunto
é um subespaço de
. Aqui,
é formado por todos os vetores de
que satisfazem a condição
. Para resolver isso, vamos usar os critérios que definem um subespaço vetorial. Precisamos verificar três coisas: se o zero está em
, se
é fechado sob adição e se
é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se o vetor zero está em
. O vetor zero em
é
. Substituindo na condição:
Isso é verdadeiro, então o vetor zero está em
.
Passo 3
Agora, vamos verificar se
é fechado sob adição. Isso significa que se pegarmos dois vetores quaisquer em
, a soma deles também deve estar em
.
Seja
e
em
. Então, temos:
Somando os dois vetores:
Vamos verificar a condição para
:
Isso simplifica para:
Como
e
, a igualdade é satisfeita. Portanto,
está em
.
Passo 4
Por último, vamos ver se
é fechado sob multiplicação por escalar. Isso quer dizer que se multiplicarmos qualquer vetor de
por um número real, o resultado também deve estar em
.
Seja
em
e
um escalar real. Então:
Verificando a condição para
:
Como
, temos:
Isso confirma que
está em
.
Resposta
Sim,
é um subespaço de
.
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é ou não um subespaço de
.
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tais que
.
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é ou não um subespaço de
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tais que
e
.
Nos itens abaixo, determine se
é ou não um subespaço de
.
é o conjunto de todos os vetores de
cujas as componentes são todas diferentes de zero.
Mostre que todo subespaço
de um espaço vetorial
contém o vetor nulo
.