Nos itens abaixo, determine se é ou não um subespaço de .
é o conjunto de todos os vetores de cujas as componentes são todas diferentes de zero.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir se o conjunto , que é formado por todos os vetores em onde todas as componentes são diferentes de zero, é um subespaço desse espaço vetorial. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subespaço e quais são as condições que ele precisa cumprir.

Passo 2

Primeiro, lembra que um subespaço de precisa satisfazer três condições básicas:
  1. Contém o vetor zero: O vetor onde todas as componentes são zero deve estar no conjunto.
  2. É fechado sob adição: Se você pegar dois vetores quaisquer do conjunto e somar, o resultado também deve estar no conjunto.
  3. É fechado sob multiplicação por escalar: Se você pegar qualquer vetor do conjunto e multiplicar por um número (escalar), o resultado também deve estar no conjunto.
Vamos verificar se o cumpre essas condições.

Passo 3

Verificando a primeira condição: Contém o vetor zero
O vetor zero em é . Mas, pelo enunciado, em todas as componentes têm que ser diferentes de zero. Como esse vetor tem todas as componentes iguais a zero, ele não está em . Já que a primeira condição não é satisfeita, o não pode ser um subespaço de .

Passo 4

Mesmo que já tenhamos concluído que não é um subespaço, vamos dar uma olhadinha nas outras condições pra reforçar a ideia.
Verificando a segunda condição: Fechado sob adição
Imagine dois vetores qualquer em , como e . Somando eles, temos , que também está em . Parece que está tudo certo aqui.
Verificando a terceira condição: Fechado sob multiplicação por escalar
Pegue um vetor em , por exemplo, , e multiplique por zero. O resultado é , que não está em . Então, também não é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 5

Concluindo, mesmo que o pareça fechar sob adição, ele falha nas outras duas condições essenciais: não contém o vetor zero e não é fechado sob multiplicação por escalar. Portanto, não é um subespaço de .

Resposta

não é um subespaço de .

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