Nos itens abaixo, determine se
é ou não um subespaço de
.
é o conjunto de todos os vetores de
cujas as componentes são todas diferentes de zero.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir se o conjunto
, que é formado por todos os vetores em
onde todas as componentes são diferentes de zero, é um subespaço desse espaço vetorial. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subespaço e quais são as condições que ele precisa cumprir.
Passo 2
Primeiro, lembra que um subespaço de
precisa satisfazer três condições básicas:
- Contém o vetor zero: O vetor onde todas as componentes são zero deve estar no conjunto.
- É fechado sob adição: Se você pegar dois vetores quaisquer do conjunto e somar, o resultado também deve estar no conjunto.
- É fechado sob multiplicação por escalar: Se você pegar qualquer vetor do conjunto e multiplicar por um número (escalar), o resultado também deve estar no conjunto.
Vamos verificar se o
cumpre essas condições.
Passo 3
Verificando a primeira condição: Contém o vetor zero
O vetor zero em
é
. Mas, pelo enunciado, em
todas as componentes têm que ser diferentes de zero. Como esse vetor tem todas as componentes iguais a zero, ele não está em
. Já que a primeira condição não é satisfeita, o
não pode ser um subespaço de
.
Passo 4
Mesmo que já tenhamos concluído que
não é um subespaço, vamos dar uma olhadinha nas outras condições pra reforçar a ideia.
Verificando a segunda condição: Fechado sob adição
Imagine dois vetores qualquer em
, como
e
. Somando eles, temos
, que também está em
. Parece que está tudo certo aqui.
Verificando a terceira condição: Fechado sob multiplicação por escalar
Pegue um vetor em
, por exemplo,
, e multiplique por zero. O resultado é
, que não está em
. Então,
também não é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 5
Concluindo, mesmo que o
pareça fechar sob adição, ele falha nas outras duas condições essenciais: não contém o vetor zero e não é fechado sob multiplicação por escalar. Portanto,
não é um subespaço de
.
Resposta
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Nos itens abaixo, determine se
é ou não um subespaço de
.
é o conjunto de todos os vetores de
tais que
Nos itens abaixo, determine se
é ou não um subespaço de
.
é o conjunto de todos os vetores de
tais que
.
Mostre que todo subespaço
de um espaço vetorial
contém o vetor nulo
.
Nos itens abaixo, expresse o vetor
como uma combinação linear dos vetores
, se isto for possível. Em caso negativo, demonstre a impossibilidade.