Mostre que todo subespaço W de um espaço vetorial V contém o vetor nulo 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que todo subespaço de um espaço vetorial contém o vetor nulo . Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre espaços vetoriais e suas propriedades. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subespaço e as condições que ele precisa cumprir.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço. Um subespaço de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que satisfaz três condições:
  1. Contém o vetor nulo: .
  2. É fechado sob adição: Se , então .
  3. É fechado sob multiplicação por escalar: Se e é um escalar, então .
Aqui, o primeiro ponto já nos dá uma pista: um subespaço deve conter o vetor nulo.

Passo 3

Vamos focar na primeira condição: o subespaço deve conter o vetor nulo . Para provar isso, consideramos que todo espaço vetorial contém o vetor nulo por definição. Como é um subespaço de , ele herda essa propriedade.
Além disso, podemos usar a propriedade da multiplicação por escalar. Se pegarmos o vetor qualquer e multiplicarmos por zero, temos:
Como é fechado sob multiplicação por escalar, deve estar em .

Passo 4

Portanto, independente do que mais o subespaço contenha, ele sempre terá pelo menos o vetor nulo . Isso é uma consequência direta das propriedades que definem um subespaço.

Resposta

Assim, demonstramos que todo subespaço de um espaço vetorial contém o vetor nulo .

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