Mostre que todo subespaço
de um espaço vetorial
contém o vetor nulo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que todo subespaço
de um espaço vetorial
contém o vetor nulo
. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre espaços vetoriais e suas propriedades. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subespaço e as condições que ele precisa cumprir.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço. Um subespaço
de um espaço vetorial
é um conjunto de vetores que satisfaz três condições:
- Contém o vetor nulo:
. - É fechado sob adição: Se
, então . - É fechado sob multiplicação por escalar: Se
e é um escalar, então .
Aqui, o primeiro ponto já nos dá uma pista: um subespaço deve conter o vetor nulo.
Passo 3
Vamos focar na primeira condição: o subespaço
deve conter o vetor nulo
. Para provar isso, consideramos que todo espaço vetorial
contém o vetor nulo por definição. Como
é um subespaço de
, ele herda essa propriedade.
Além disso, podemos usar a propriedade da multiplicação por escalar. Se pegarmos o vetor qualquer
e multiplicarmos por zero, temos:
Como
é fechado sob multiplicação por escalar,
deve estar em
.
Passo 4
Portanto, independente do que mais o subespaço
contenha, ele sempre terá pelo menos o vetor nulo
. Isso é uma consequência direta das propriedades que definem um subespaço.
Resposta
Assim, demonstramos que todo subespaço
de um espaço vetorial
contém o vetor nulo
.