Nos itens abaixo, expresse o vetor w como uma combinação linear dos vetores v1, v2, ..., vk, se isto for possível. Em caso negativo, demonstre a impossibilidade.
w = (3, -1, -2), v1 = (-3, 1, -2), v2 = (6, -2, 3)

Passo 1

Vamos resumir o que a questão pede: queremos expressar o vetor como uma combinação linear dos vetores e . Para isso, vamos usar conceitos de combinação linear e resolver um sistema de equações para encontrar os coeficientes que fazem essa combinação funcionar.

Passo 2

Uma combinação linear dos vetores e significa que pode ser escrita como:
onde e são escalares que precisamos determinar.

Passo 3

Vamos montar um sistema de equações comparando as componentes dos vetores:
Cada equação corresponde a uma das componentes , e dos vetores.

Passo 4

Começamos resolvendo a segunda equação para encontrar em termos de :

Passo 5

Substituímos na primeira equação:
Isso nos ajuda a encontrar o valor de .

Passo 6

Simplificando a equação:
Essa equação é sempre verdadeira e não nos dá informação nova, então precisamos usar outra equação para encontrar .

Passo 7

Agora, substituímos na terceira equação:
Simplificando:

Passo 8

Com , encontramos usando a equação :

Resposta

O vetor pode ser expresso como a combinação linear .

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