Nos itens abaixo, determine se é ou não um subespaço de .
é o conjunto de todos os vetores de tais que

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa descobrir se o conjunto é ou não um subespaço do espaço . Um subespaço, basicamente, é um subconjunto que preserva certas propriedades de um espaço vetorial, como conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar. No nosso caso, é formado por todos os vetores em que satisfazem a condição . Vamos ver se esse conjunto cumpre os requisitos para ser um subespaço.

Passo 2

Primeiro, precisamos verificar se o vetor zero está em . O vetor zero em é . Vamos substituir na condição de :
Isso é verdade, então o vetor zero pertence a .

Passo 3

Agora, vamos checar se é fechado sob adição. Isso significa que, se pegarmos dois vetores quaisquer que estão em , a soma deles também deve estar em .
Seja e dois vetores em . Então:
Vamos somar esses dois vetores:
Para que esteja em , deve valer que:
Agora, vamos expandir ambas as multiplicações:
Sabemos que e , mas isso não garante que as expressões cruzadas como e sejam iguais às de e . Portanto, em geral, a adição de dois vetores em pode não estar em .

Passo 4

Por último, vamos verificar se é fechado sob multiplicação por escalar. Isso quer dizer que, se multiplicarmos qualquer vetor de por um número real , o resultado também deve estar em .
Pegamos um vetor em , onde . Multiplicando por :
Agora, vamos verificar a condição de :
Como , a igualdade é verdadeira:
Então, é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Não, não é um subespaço de .

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Nos itens abaixo, determine se é ou não um subespaço de .
é o conjunto de todos os vetores de tais que .