Nos itens abaixo, determine se
é ou não um subespaço de
.
é o conjunto de todos os vetores de
tais que
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa descobrir se o conjunto
é ou não um subespaço do espaço
. Um subespaço, basicamente, é um subconjunto que preserva certas propriedades de um espaço vetorial, como conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar. No nosso caso,
é formado por todos os vetores
em
que satisfazem a condição
. Vamos ver se esse conjunto cumpre os requisitos para ser um subespaço.
Passo 2
Primeiro, precisamos verificar se o vetor zero está em
. O vetor zero em
é
. Vamos substituir na condição de
:
Isso é verdade, então o vetor zero pertence a
.
Passo 3
Agora, vamos checar se
é fechado sob adição. Isso significa que, se pegarmos dois vetores quaisquer que estão em
, a soma deles também deve estar em
.
Seja
e
dois vetores em
. Então:
Vamos somar esses dois vetores:
Para que
esteja em
, deve valer que:
Agora, vamos expandir ambas as multiplicações:
Sabemos que
e
, mas isso não garante que as expressões cruzadas como
e
sejam iguais às de
e
. Portanto, em geral, a adição de dois vetores em
pode não estar em
.
Passo 4
Por último, vamos verificar se
é fechado sob multiplicação por escalar. Isso quer dizer que, se multiplicarmos qualquer vetor de
por um número real
, o resultado também deve estar em
.
Pegamos um vetor
em
, onde
. Multiplicando por
:
Agora, vamos verificar a condição de
:
Como
, a igualdade é verdadeira:
Então,
é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Não,
não é um subespaço de
.