Nos itens abaixo, suponha que os vetores
sejam linearmente independentes. Aplique a definição de independência linear para demonstrar que os vetores
também são linearmente independentes.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um conjunto de vetores
que são linearmente independentes. Isso significa que nenhuma combinação linear desses vetores resulta no vetor zero, a menos que todos os coeficientes sejam zero. O exercício nos dá dois novos vetores:
Queremos mostrar que o conjunto
também é linearmente independente usando a definição de independência linear.
Passo 2
Vamos lembrar o que significa vetores serem linearmente independentes. Um conjunto de vetores
é linearmente independente se a única solução para a equação
é
. Ou seja, não há combinação não trivial desses vetores que resulte no vetor zero.
Passo 3
Vamos aplicar essa definição aos vetores
e
. Assumimos que há escalares
e
tais que:
Substituindo
e
pelas expressões dadas:
Passo 4
Vamos distribuir os escalares dentro dos parênteses:
Agora, agrupamos os termos semelhantes:
Passo 5
Como sabemos que os vetores
são linearmente independentes, a única solução para essa equação é que os coeficientes de cada vetor sejam zero. Assim, temos o sistema de equações:
Passo 6
Vamos resolver esse sistema de equações. Subtraindo a primeira equação da segunda:
Substituindo
na primeira equação:
Passo 7
Encontramos que a única solução para
e
é
e
. Isso significa que a única combinação linear de
e
que resulta em zero é a trivial, onde todos os coeficientes são zero.
Resposta
Portanto, os vetores
são linearmente independentes.