Nos itens abaixo, suponha que os vetores sejam linearmente independentes. Aplique a definição de independência linear para demonstrar que os vetores também são linearmente independentes.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um conjunto de vetores que são linearmente independentes. Isso significa que nenhuma combinação linear desses vetores resulta no vetor zero, a menos que todos os coeficientes sejam zero. O exercício nos dá dois novos vetores:
Queremos mostrar que o conjunto também é linearmente independente usando a definição de independência linear.
Passo 2
Vamos lembrar o que significa vetores serem linearmente independentes. Um conjunto de vetores é linearmente independente se a única solução para a equação
é . Ou seja, não há combinação não trivial desses vetores que resulte no vetor zero.
Passo 3
Vamos aplicar essa definição aos vetores e . Assumimos que há escalares e tais que:
Substituindo e pelas expressões dadas:
Passo 4
Vamos distribuir os escalares dentro dos parênteses:
Agora, agrupamos os termos semelhantes:
Passo 5
Como sabemos que os vetores são linearmente independentes, a única solução para essa equação é que os coeficientes de cada vetor sejam zero. Assim, temos o sistema de equações:
Passo 6
Vamos resolver esse sistema de equações. Subtraindo a primeira equação da segunda:
Substituindo na primeira equação:
Passo 7
Encontramos que a única solução para e é e . Isso significa que a única combinação linear de e que resulta em zero é a trivial, onde todos os coeficientes são zero.
Resposta
Portanto, os vetores são linearmente independentes.