Nos itens abaixo, suponha que os vetores {vi} sejam linearmente independentes. Aplique a definição de independência linear para demonstrar que os vetores {u_i} também são linearmente independentes.
u1 = v1 + v2, u2 = 2*v1 + 3*v2

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um conjunto de vetores que são linearmente independentes. Isso significa que nenhuma combinação linear desses vetores resulta no vetor zero, a menos que todos os coeficientes sejam zero. O exercício nos dá dois novos vetores:
Queremos mostrar que o conjunto também é linearmente independente usando a definição de independência linear.

Passo 2

Vamos lembrar o que significa vetores serem linearmente independentes. Um conjunto de vetores é linearmente independente se a única solução para a equação
é . Ou seja, não há combinação não trivial desses vetores que resulte no vetor zero.

Passo 3

Vamos aplicar essa definição aos vetores e . Assumimos que há escalares a e b tais que:
Substituindo e pelas expressões dadas:

Passo 4

Vamos distribuir os escalares dentro dos parênteses:
Agora, agrupamos os termos semelhantes:

Passo 5

Como sabemos que os vetores são linearmente independentes, a única solução para essa equação é que os coeficientes de cada vetor sejam zero. Assim, temos o sistema de equações:

Passo 6

Vamos resolver esse sistema de equações. Subtraindo a primeira equação da segunda:
Substituindo na primeira equação:

Passo 7

Encontramos que a única solução para a e b é e . Isso significa que a única combinação linear de e que resulta em zero é a trivial, onde todos os coeficientes são zero.

Resposta

Portanto, os vetores são linearmente independentes.

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