Nos itens abaixo, suponha que os vetores sejam linearmente independentes. Aplique a definição de independência linear para demonstrar que os vetores também são linearmente independentes.
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos dois conjuntos de vetores:
Conjunto original: , que são linearmente independentes.
Novo conjunto: , onde:
O conteúdo que vamos utilizar aqui é sobre independência linear de vetores. Vamos precisar entender a definição de vetores linearmente independentes e como aplicar essa definição para mostrar que o novo conjunto de vetores também é linearmente independente.
Passo 2
Vamos relembrar o que significa independência linear. Um conjunto de vetores é linearmente independente se a única solução para a combinação linear:
é quando todos os coeficientes são iguais a zero. Ou seja, não há como escrever um vetor do conjunto como combinação linear dos outros.
Passo 3
Vamos aplicar essa definição ao nosso novo conjunto . Queremos mostrar que se:
então necessariamente e . Substituindo e pelas suas expressões em termos de e , temos:
Passo 4
Agora, vamos distribuir os coeficientes e :
Agrupando os termos semelhantes, obtemos:
Passo 5
Sabemos que são linearmente independentes. Então, a única solução para a equação acima é que os coeficientes de e sejam zero:
Passo 6
Resolvendo o sistema de equações:
Somando as duas equações:
Substituindo na primeira equação:
Resposta
Portanto, a única solução é e , o que significa que os vetores são linearmente independentes.