Nos itens abaixo, suponha que os vetores {vi} sejam linearmente independentes. Aplique a definição de independência linear para demonstrar que os vetores {u_i} também são linearmente independentes.
u1 = v1 + v2, u2 = v1 - v2

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos dois conjuntos de vetores:
  • Conjunto original: , que são linearmente independentes.
  • Novo conjunto: , onde:
O conteúdo que vamos utilizar aqui é sobre independência linear de vetores. Vamos precisar entender a definição de vetores linearmente independentes e como aplicar essa definição para mostrar que o novo conjunto de vetores também é linearmente independente.

Passo 2

Vamos relembrar o que significa independência linear. Um conjunto de vetores é linearmente independente se a única solução para a combinação linear:
é quando todos os coeficientes são iguais a zero. Ou seja, não há como escrever um vetor do conjunto como combinação linear dos outros.

Passo 3

Vamos aplicar essa definição ao nosso novo conjunto . Queremos mostrar que se:
então necessariamente e . Substituindo e pelas suas expressões em termos de e , temos:

Passo 4

Agora, vamos distribuir os coeficientes e :
Agrupando os termos semelhantes, obtemos:

Passo 5

Sabemos que são linearmente independentes. Então, a única solução para a equação acima é que os coeficientes de e sejam zero:

Passo 6

Resolvendo o sistema de equações:
Somando as duas equações:
Substituindo na primeira equação:

Resposta

Portanto, a única solução é e , o que significa que os vetores são linearmente independentes.

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