Nos itens abaixo, suponha que os vetores
sejam linearmente independentes. Aplique a definição de independência linear para demonstrar que os vetores
também são linearmente independentes.
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos dois conjuntos de vetores:
- Conjunto original:
, que são linearmente independentes. - Novo conjunto:
, onde: -
O conteúdo que vamos utilizar aqui é sobre independência linear de vetores. Vamos precisar entender a definição de vetores linearmente independentes e como aplicar essa definição para mostrar que o novo conjunto de vetores também é linearmente independente.
Passo 2
Vamos relembrar o que significa independência linear. Um conjunto de vetores
é linearmente independente se a única solução para a combinação linear:
é quando todos os coeficientes
são iguais a zero. Ou seja, não há como escrever um vetor do conjunto como combinação linear dos outros.
Passo 3
Vamos aplicar essa definição ao nosso novo conjunto
. Queremos mostrar que se:
então necessariamente
e
. Substituindo
e
pelas suas expressões em termos de
e
, temos:
Passo 4
Agora, vamos distribuir os coeficientes
e
:
Agrupando os termos semelhantes, obtemos:
Passo 5
Sabemos que
são linearmente independentes. Então, a única solução para a equação acima é que os coeficientes de
e
sejam zero:
Passo 6
Resolvendo o sistema de equações:
Somando as duas equações:
Substituindo
na primeira equação:
Resposta
Portanto, a única solução é
e
, o que significa que os vetores
são linearmente independentes.