Nos itens abaixo, suponha que os vetores sejam linearmente independentes. Aplique a definição de independência linear para demonstrar que os vetores também são linearmente independentes.
Passo 1
Ok, vamos lá! A questão pede para mostrarmos que os vetores são linearmente independentes, assumindo que os vetores já são. Estamos lidando com o conteúdo de independência linear, então vamos precisar usar a definição dessa propriedade para resolver o exercício.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa um conjunto de vetores ser linearmente independente. Isso quer dizer que a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Ou seja, se , então necessariamente .
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa definição aos vetores , e :
Substituindo os valores de em termos de , temos:
Passo 4
Vamos distribuir os coeficientes:
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
Passo 5
Como os vetores , e são linearmente independentes, os coeficientes de cada vetor devem ser iguais a zero. Então, temos o seguinte sistema de equações:
Passo 6
Resolvendo o sistema:
Da terceira equação, nos dá .
Substituindo na segunda equação: .
Finalmente, substituindo e na primeira equação: .
Resposta
Como a única solução para , e é zero, concluímos que os vetores são linearmente independentes.