Nos itens abaixo, suponha que os vetores {vi} sejam linearmente independentes. Aplique a definição de independência linear para demonstrar que os vetores {u_i} também são linearmente independentes.
u1 = v1, u2 = v1 + 3 v2, u3 = v1 + 2 v2 + 3 v3

Passo 1

Ok, vamos lá! A questão pede para mostrarmos que os vetores {u_i} são linearmente independentes, assumindo que os vetores {vi} já são. Estamos lidando com o conteúdo de independência linear, então vamos precisar usar a definição dessa propriedade para resolver o exercício.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa um conjunto de vetores ser linearmente independente. Isso quer dizer que a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Ou seja, se , então necessariamente .

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição aos vetores , e :
Substituindo os valores de em termos de , temos:

Passo 4

Vamos distribuir os coeficientes:
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:

Passo 5

Como os vetores , e são linearmente independentes, os coeficientes de cada vetor devem ser iguais a zero. Então, temos o seguinte sistema de equações:

Passo 6

Resolvendo o sistema:
  1. Da terceira equação, nos dá .
  2. Substituindo na segunda equação: .
  3. Finalmente, substituindo e na primeira equação: .

Resposta

Como a única solução para , e é zero, concluímos que os vetores {u_i} são linearmente independentes.

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