Nos itens abaixo, determine se é ou não um subespaço de .
é o conjunto de todos os vetores de tais que .

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um conjunto composto por todos os vetores em onde a terceira coordenada é zero, ou seja, . O objetivo é determinar se é um subespaço de . Para isso, vamos precisar saber o que define um subespaço vetorial, que geralmente envolve três critérios principais: conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se contém o vetor zero. O vetor zero em é . Observando que para o vetor zero, vemos que . Isso satisfaz o primeiro critério para ser um subespaço: o vetor zero está incluído.

Passo 3

Agora, vamos conferir se é fechado sob adição. Isso significa que, se pegarmos dois vetores quaisquer em , sua soma também deve estar em . Vamos considerar dois vetores e em . A soma deles é:
Como a terceira coordenada da soma continua sendo zero, . Portanto, é fechado sob adição.

Passo 4

Finalmente, vamos verificar se é fechado sob multiplicação por escalar. Isso quer dizer que, se pegarmos qualquer vetor em e multiplicarmos por um número real qualquer, o resultado também deve estar em . Seja em e um escalar real. A multiplicação por escalar fica:
A terceira coordenada ainda é zero, então . Assim, é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Como contém o vetor zero, é fechado sob adição e é fechado sob multiplicação por escalar, concluímos que é, de fato, um subespaço de .

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é o conjunto de todos os vetores de tais que
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