Nos itens abaixo, determine se
é ou não um subespaço de
.
é o conjunto de todos os vetores de
tais que
.
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um conjunto
composto por todos os vetores em
onde a terceira coordenada é zero, ou seja,
. O objetivo é determinar se
é um subespaço de
. Para isso, vamos precisar saber o que define um subespaço vetorial, que geralmente envolve três critérios principais: conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se
contém o vetor zero. O vetor zero em
é
. Observando que
para o vetor zero, vemos que
. Isso satisfaz o primeiro critério para ser um subespaço: o vetor zero está incluído.
Passo 3
Agora, vamos conferir se
é fechado sob adição. Isso significa que, se pegarmos dois vetores quaisquer em
, sua soma também deve estar em
. Vamos considerar dois vetores
e
em
. A soma deles é:
Como a terceira coordenada da soma continua sendo zero,
. Portanto,
é fechado sob adição.
Passo 4
Finalmente, vamos verificar se
é fechado sob multiplicação por escalar. Isso quer dizer que, se pegarmos qualquer vetor em
e multiplicarmos por um número real qualquer, o resultado também deve estar em
. Seja
em
e
um escalar real. A multiplicação por escalar fica:
A terceira coordenada ainda é zero, então
. Assim,
é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Como
contém o vetor zero, é fechado sob adição e é fechado sob multiplicação por escalar, concluímos que
é, de fato, um subespaço de
.