Mostre que, num corpo
, se
, então
ou
.
Passo 1
Vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos um corpo matemático, representado por
, e queremos provar que se o produto de dois elementos
e
desse corpo é igual a zero (
), então necessariamente pelo menos um dos elementos
ou
deve ser igual a zero. Para fazer isso, vamos precisar usar as propriedades dos corpos, especialmente a propriedade da ausência de divisores de zero.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um corpo. Um corpo
é uma estrutura algébrica onde podemos fazer operações de adição, subtração, multiplicação e divisão (exceto divisão por zero) e que essas operações seguem certas propriedades, como a comutatividade e a existência de elementos neutros.
Passo 3
Dentro de um corpo, uma propriedade importante é que ele não possui divisores de zero. Isso significa que se
, então necessariamente
ou
. Ou seja, não existe um par de elementos diferentes de zero cujo produto seja zero.
Passo 4
Vamos agora aplicar essa propriedade ao nosso caso. Suponha que
em um corpo
. Pela propriedade da ausência de divisores de zero, concluímos que pelo menos um dos fatores
ou
deve ser igual a zero. Portanto, se
, então necessariamente
ou
.
Resposta
Concluímos que, em um corpo
, se
, então pelo menos um dos elementos
ou
é igual a zero.
Exercícios relacionados
Nos itens abaixo, determine se
é ou não um subespaço de
.
é o conjunto de todos os vetores de
tais que
.
Nos itens abaixo, suponha que os vetores
sejam linearmente independentes. Aplique a definição de independência linear para demonstrar que os vetores
também são linearmente independentes.
Um capital de
foi aplicado a uma taxa de juros simples de
ao ano, durante 3 anos. Qual será o montante ao final desse período?
Um montante de R$
foi obtido após 4 anos com uma aplicação a juros simples de
ao ano. Qual era o capital inicial?