Mostre que, num corpo
, se
, então
ou
.
Passo 1
Vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos um corpo matemático, representado por
, e queremos provar que se o produto de dois elementos
e
desse corpo é igual a zero (
), então necessariamente pelo menos um dos elementos
ou
deve ser igual a zero. Para fazer isso, vamos precisar usar as propriedades dos corpos, especialmente a propriedade da ausência de divisores de zero.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um corpo. Um corpo
é uma estrutura algébrica onde podemos fazer operações de adição, subtração, multiplicação e divisão (exceto divisão por zero) e que essas operações seguem certas propriedades, como a comutatividade e a existência de elementos neutros.
Passo 3
Dentro de um corpo, uma propriedade importante é que ele não possui divisores de zero. Isso significa que se
, então necessariamente
ou
. Ou seja, não existe um par de elementos diferentes de zero cujo produto seja zero.
Passo 4
Vamos agora aplicar essa propriedade ao nosso caso. Suponha que
em um corpo
. Pela propriedade da ausência de divisores de zero, concluímos que pelo menos um dos fatores
ou
deve ser igual a zero. Portanto, se
, então necessariamente
ou
.
Resposta
Concluímos que, em um corpo
, se
, então pelo menos um dos elementos
ou
é igual a zero.