Mostre que, num corpo , se , então ou .

Passo 1

Vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos um corpo matemático, representado por , e queremos provar que se o produto de dois elementos e desse corpo é igual a zero ( ), então necessariamente pelo menos um dos elementos ou deve ser igual a zero. Para fazer isso, vamos precisar usar as propriedades dos corpos, especialmente a propriedade da ausência de divisores de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um corpo. Um corpo é uma estrutura algébrica onde podemos fazer operações de adição, subtração, multiplicação e divisão (exceto divisão por zero) e que essas operações seguem certas propriedades, como a comutatividade e a existência de elementos neutros.

Passo 3

Dentro de um corpo, uma propriedade importante é que ele não possui divisores de zero. Isso significa que se , então necessariamente ou . Ou seja, não existe um par de elementos diferentes de zero cujo produto seja zero.

Passo 4

Vamos agora aplicar essa propriedade ao nosso caso. Suponha que em um corpo . Pela propriedade da ausência de divisores de zero, concluímos que pelo menos um dos fatores ou deve ser igual a zero. Portanto, se , então necessariamente ou .

Resposta

Concluímos que, em um corpo , se , então pelo menos um dos elementos ou é igual a zero.

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