Nos itens abaixo encontre, o domínio da função, e a imagem da função. Feito isto, faça um estudo dos conjuntos de níveis, informando os nomes das curvas ou superfícies de níveis, caso sejam conhecidas, e fazendo um esboço da decomposição do domínio destes conjuntos de níveis.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função . O que a questão pede é pra encontrar o domínio e a imagem dessa função. Depois, vamos analisar os conjuntos de níveis, identificar as curvas ou superfícies que eles representam e esboçar como esses conjuntos dividem o domínio da função. Para isso, vamos precisar de conhecimentos básicos de funções, domínio, imagem e conjuntos de níveis.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de e para os quais a função está definida. Como temos uma raiz quadrada, o que está dentro dela precisa ser maior ou igual a zero para termos números reais.
Então, a condição é:
Resolvendo isso:
Isso representa todos os pontos que estão dentro ou sobre o círculo de raio 2 centrado na origem.

Passo 3

Agora, vamos determinar a imagem da função. A imagem é o conjunto de todos os valores que pode assumir.
Como varia de 0 a 4 (por causa do domínio), a raiz quadrada vai variar de:
é
Então, a imagem da função é o intervalo:

Passo 4

Vamos agora estudar os conjuntos de níveis da função. Um conjunto de nível é o conjunto de pontos onde a função assume um valor constante .
Então, temos:
Elevando os dois lados ao quadrado:
Rearranjando:
Isso é a equação de um círculo com raio .

Passo 5

Os conjuntos de níveis são, portanto, círculos de diferentes tamanhos, dependendo do valor de . Quando varia de 0 a 2, o raio do círculo varia de a .
Isso significa que os conjuntos de níveis são círculos concêntricos dentro do domínio da função.

Passo 6

Para esboçar a decomposição do domínio pelos conjuntos de níveis, imagine vários círculos menores dentro do círculo maior de raio 2. Cada círculo interno representa um conjunto de nível correspondente a um valor específico de . Esses círculos ajudam a visualizar como os valores da função mudam dentro do domínio.

Resposta

O domínio da função é o conjunto , e a imagem é o intervalo . Os conjuntos de níveis são círculos concêntricos de raio dentro do domínio, onde cada círculo representa um valor constante da função.

Exercícios relacionados

Use o critério do termo geral para concluir se a série é divergente ou que o teste é inconclusivo
a)
Seja definido em e sejam e as circunferências , respectivamente, ambas percorridas no sentido antihorário.
Calcule a integral . Dica: .
Utilizando o teste da comparação ou comparação no limite para concluir se as séries convergem ou divergem
b)
Utilizando o teste da comparação ou comparação no limite para concluir se as séries convergem ou divergem
e)