Nos itens abaixo encontre, o domínio da função, e a imagem da função. Feito isto, faça um estudo dos conjuntos de níveis, informando os nomes das curvas ou superfícies de níveis, caso sejam conhecidas, e fazendo um esboço da decomposição do domínio destes conjuntos de níveis.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
. O que a questão pede é pra encontrar o domínio e a imagem dessa função. Depois, vamos analisar os conjuntos de níveis, identificar as curvas ou superfícies que eles representam e esboçar como esses conjuntos dividem o domínio da função. Para isso, vamos precisar de conhecimentos básicos de funções, domínio, imagem e conjuntos de níveis.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de
e
para os quais a função está definida. Como temos uma raiz quadrada, o que está dentro dela precisa ser maior ou igual a zero para termos números reais.
Então, a condição é:
Resolvendo isso:
Isso representa todos os pontos
que estão dentro ou sobre o círculo de raio 2 centrado na origem.
Passo 3
Agora, vamos determinar a imagem da função. A imagem é o conjunto de todos os valores que
pode assumir.
Como
varia de 0 a 4 (por causa do domínio), a raiz quadrada vai variar de:
Então, a imagem da função é o intervalo:
Passo 4
Vamos agora estudar os conjuntos de níveis da função. Um conjunto de nível é o conjunto de pontos
onde a função
assume um valor constante
.
Então, temos:
Elevando os dois lados ao quadrado:
Rearranjando:
Isso é a equação de um círculo com raio
.
Passo 5
Os conjuntos de níveis são, portanto, círculos de diferentes tamanhos, dependendo do valor de
. Quando
varia de 0 a 2, o raio do círculo varia de
a
.
Isso significa que os conjuntos de níveis são círculos concêntricos dentro do domínio da função.
Passo 6
Para esboçar a decomposição do domínio pelos conjuntos de níveis, imagine vários círculos menores dentro do círculo maior de raio 2. Cada círculo interno representa um conjunto de nível correspondente a um valor específico de
. Esses círculos ajudam a visualizar como os valores da função mudam dentro do domínio.
Resposta
O domínio da função é o conjunto
, e a imagem é o intervalo
. Os conjuntos de níveis são círculos concêntricos de raio
dentro do domínio, onde cada círculo representa um valor constante da função.
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Use o critério do termo geral para concluir se a série é divergente ou que o teste é inconclusivo
a)
a)
Seja
definido em
e sejam
e
as circunferências
, respectivamente, ambas percorridas no sentido antihorário.
Calcule a integral . Dica:
.
Calcule a integral
Utilizando o teste da comparação ou comparação no limite para concluir se as séries convergem ou divergem
b)
b)
Utilizando o teste da comparação ou comparação no limite para concluir se as séries convergem ou divergem
e)
e)