Utilizando o teste da comparação ou comparação no limite para concluir se as séries convergem ou divergem
e)
e)
Passo 1
Vamos dar uma olhada no exercício: precisamos usar o teste da comparação ou a comparação no limite para descobrir se a série
converge ou diverge. A matéria envolvida aqui é sobre séries numéricas e testes de convergência. Para resolver, vamos precisar entender o que é o teste da comparação e como aplicá-lo a essa série específica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o teste da comparação. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência ou divergência de uma série comparando-a com outra série que já sabemos se ela converge ou diverge. Se os termos da nossa série forem menores que os termos de uma série que converge, então a nossa série também converge.
Passo 3
Agora, vamos analisar a série dada:
. Sabemos que o fatorial
cresce muito rapidamente à medida que
aumenta. Isso faz com que
diminua rapidamente.
Passo 4
Vamos comparar essa série com a série geométrica
, que sabemos que converge porque a razão
é menor que 1.
Passo 5
Observamos que para todo
, temos
. Isso significa que:
Como a série
converge e
é menor ou igual a
para todo
, pelo teste da comparação, a série
também converge.
Resposta
A série
converge pelo teste da comparação.
Exercícios relacionados
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b)
b)
Nos itens abaixo encontre, o domínio da função, e a imagem da função. Feito isto, faça um estudo dos conjuntos de níveis, informando os nomes das curvas ou superfícies de níveis, caso sejam conhecidas, e fazendo um esboço da decomposição do domínio destes conjuntos de níveis.
Seja
o campo vetorial
.
Mostre que é um campo conservativo.
Mostre que
Seja a função
dada por
. Encontre: