Utilizando o teste da comparação ou comparação no limite para concluir se as séries convergem ou divergem
e)

Passo 1

Vamos dar uma olhada no exercício: precisamos usar o teste da comparação ou a comparação no limite para descobrir se a série converge ou diverge. A matéria envolvida aqui é sobre séries numéricas e testes de convergência. Para resolver, vamos precisar entender o que é o teste da comparação e como aplicá-lo a essa série específica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o teste da comparação. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência ou divergência de uma série comparando-a com outra série que já sabemos se ela converge ou diverge. Se os termos da nossa série forem menores que os termos de uma série que converge, então a nossa série também converge.

Passo 3

Agora, vamos analisar a série dada: . Sabemos que o fatorial cresce muito rapidamente à medida que aumenta. Isso faz com que diminua rapidamente.

Passo 4

Vamos comparar essa série com a série geométrica , que sabemos que converge porque a razão é menor que 1.

Passo 5

Observamos que para todo , temos . Isso significa que:
Como a série converge e é menor ou igual a para todo , pelo teste da comparação, a série também converge.

Resposta

A série converge pelo teste da comparação.

Exercícios relacionados

Utilizando o teste da comparação ou comparação no limite para concluir se as séries convergem ou divergem
b)
Nos itens abaixo encontre, o domínio da função, e a imagem da função. Feito isto, faça um estudo dos conjuntos de níveis, informando os nomes das curvas ou superfícies de níveis, caso sejam conhecidas, e fazendo um esboço da decomposição do domínio destes conjuntos de níveis.
Seja o campo vetorial .
Mostre que é um campo conservativo.
Seja a função dada por . Encontre: