Utilizando o teste da comparação ou comparação no limite para concluir se as séries convergem ou divergem
b)
b)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos usar o teste da comparação ou a comparação no limite para descobrir se a série
converge ou diverge. Para isso, vamos precisar entender como esses testes funcionam e escolher uma série que seja mais fácil de comparar com a nossa.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série para facilitar a comparação. Observa que, quando
é grande,
é quase igual a
. Então,
. Assim, podemos aproximar nosso termo geral por:
Passo 3
Agora, vamos lembrar de uma série conhecida para comparar. A série
é uma série p, onde
. Sabemos que uma série p converge se
. Então, essa série é uma ótima referência para a nossa comparação.
Passo 4
Vamos aplicar o teste da comparação no limite. Para isso, calculamos o limite do quociente dos termos das duas séries quando
vai para o infinito:
Passo 5
Vamos simplificar esse limite:
Passo 6
O limite que encontramos é igual a 1, que é um número finito e positivo. Segundo o teste da comparação no limite, se esse limite é diferente de zero e os termos da série de comparação convergem, então a série que estamos analisando também converge.
Resposta
Portanto, a série
converge.
Exercícios relacionados
Nos itens abaixo encontre, o domínio da função, e a imagem da função. Feito isto, faça um estudo dos conjuntos de níveis, informando os nomes das curvas ou superfícies de níveis, caso sejam conhecidas, e fazendo um esboço da decomposição do domínio destes conjuntos de níveis.
Use o critério do termo geral para concluir se a série é divergente ou que o teste é inconclusivo
a)
a)
Utilizando o teste da comparação ou comparação no limite para concluir se as séries convergem ou divergem
e)
e)
Seja
o campo vetorial
.
Mostre que é um campo conservativo.
Mostre que