Utilizando o teste da comparação ou comparação no limite para concluir se as séries convergem ou divergem
b)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos usar o teste da comparação ou a comparação no limite para descobrir se a série converge ou diverge. Para isso, vamos precisar entender como esses testes funcionam e escolher uma série que seja mais fácil de comparar com a nossa.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série para facilitar a comparação. Observa que, quando é grande, é quase igual a . Então, . Assim, podemos aproximar nosso termo geral por:

Passo 3

Agora, vamos lembrar de uma série conhecida para comparar. A série é uma série p, onde . Sabemos que uma série p converge se . Então, essa série é uma ótima referência para a nossa comparação.

Passo 4

Vamos aplicar o teste da comparação no limite. Para isso, calculamos o limite do quociente dos termos das duas séries quando vai para o infinito:

Passo 5

Vamos simplificar esse limite:

Passo 6

O limite que encontramos é igual a 1, que é um número finito e positivo. Segundo o teste da comparação no limite, se esse limite é diferente de zero e os termos da série de comparação convergem, então a série que estamos analisando também converge.

Resposta

Portanto, a série converge.

Exercícios relacionados

Nos itens abaixo encontre, o domínio da função, e a imagem da função. Feito isto, faça um estudo dos conjuntos de níveis, informando os nomes das curvas ou superfícies de níveis, caso sejam conhecidas, e fazendo um esboço da decomposição do domínio destes conjuntos de níveis.
Use o critério do termo geral para concluir se a série é divergente ou que o teste é inconclusivo
a)
Utilizando o teste da comparação ou comparação no limite para concluir se as séries convergem ou divergem
e)
Seja o campo vetorial .
Mostre que é um campo conservativo.