Utilizando o teste da comparação ou comparação no limite para concluir se as séries convergem ou divergem
b) summ=1^infty 1raizm^4+1

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos usar o teste da comparação ou a comparação no limite para descobrir se a série converge ou diverge. Para isso, vamos precisar entender como esses testes funcionam e escolher uma série que seja mais fácil de comparar com a nossa.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série para facilitar a comparação. Observa que, quando am = 1raizm^4+1 approx 1m^2 é grande, é quase igual a . Então, . Assim, podemos aproximar nosso termo geral por:

Passo 3

Agora, vamos lembrar de uma série conhecida para comparar. A série é uma série p, onde . Sabemos que uma série p converge se . Então, essa série é uma ótima referência para a nossa comparação.

Passo 4

Vamos aplicar o teste da comparação no limite. Para isso, calculamos o limite do quociente dos termos das duas séries quando limm to infty ambm = limm to infty 1raizm^4+11m^2 = limm to infty m^2raizm^4+1 vai para o infinito:

Passo 5

Vamos simplificar esse limite:
limm to infty m^2raizm^4+1 = limm to infty m^2m^2 raiz1+1m^4 = limm to infty 1raiz1+1m^4 = 1raiz1+0 = 1

Passo 6

O limite que encontramos é igual a 1, que é um número finito e positivo. Segundo o teste da comparação no limite, se esse limite é diferente de zero e os termos da série de comparação convergem, então a série que estamos analisando também converge.

Resposta

Portanto, a série converge.

Exercícios relacionados