Nos itens abaixo, faça o que se pede: (1) Determine o gradiente de
; (2) Calcule o gradiente no ponto
; (3) Determine a taxa de variação de
em
na direção do vetor
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, o que a gente precisa fazer aqui é entender o problema. Temos uma função
e um ponto específico
. A gente precisa:
- Determinar o gradiente de
: O gradiente é como se fosse uma seta que aponta na direção de maior crescimento da função. - Calcular o gradiente no ponto
: Isso vai nos dar os coeficientes específicos no ponto que estamos analisando. - Determinar a taxa de variação de
em na direção do vetor : Isso nos mostra o quanto a função está aumentando ou diminuindo naquela direção específica.
Para resolver tudo isso, vamos precisar saber sobre derivadas parciais, gradiente e produto escalar. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o gradiente de
. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a cada variável.
Então, vamos calcular as derivadas parciais de
:
-
Derivada parcial em relação a
: -
Derivada parcial em relação a
:
Então, o gradiente de
é:
Passo 3
Agora que temos o gradiente geral, vamos calcular o gradiente no ponto
. Para isso, substituímos
e
na expressão do gradiente.
Primeiro, vamos calcular o termo dentro do cosseno:
Então,
Agora, substituímos esse valor no gradiente:
Passo 4
Por último, vamos determinar a taxa de variação de
em
na direção do vetor
.
A taxa de variação direcional é calculada pelo produto escalar entre o gradiente no ponto e o vetor de direção. Mas atenção: o vetor
já é um vetor unitário, então não precisamos normalizar.
Então, temos:
Calculando o produto escalar:
Resposta
A taxa de variação de
no ponto
na direção do vetor
é
.
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Seja
o campo elétrico criado por uma carga
localizada na origem.
Verifique que em
.
Verifique que
Calcule as derivadas:
Nos itens abaixo, faça o que se pede: (1) Determine o gradiente de
; (2) Calcule o gradiente no ponto
; (3) Determine a taxa de variação de
em
na direção do vetor
.
Esboce a curva em coordenadas polares: