Nos itens abaixo, faça o que se pede: (1) Determine o gradiente de ; (2) Calcule o gradiente no ponto ; (3) Determine a taxa de variação de em na direção do vetor .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, o que a gente precisa fazer aqui é entender o problema. Temos uma função e um ponto específico . A gente precisa:
  1. Determinar o gradiente de : O gradiente é como se fosse uma seta que aponta na direção de maior crescimento da função.
  2. Calcular o gradiente no ponto : Isso vai nos dar os coeficientes específicos no ponto que estamos analisando.
  3. Determinar a taxa de variação de em na direção do vetor : Isso nos mostra o quanto a função está aumentando ou diminuindo naquela direção específica.
Para resolver tudo isso, vamos precisar saber sobre derivadas parciais, gradiente e produto escalar. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o gradiente de . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a cada variável.
Então, vamos calcular as derivadas parciais de :
  • Derivada parcial em relação a :
  • Derivada parcial em relação a :
Então, o gradiente de é:

Passo 3

Agora que temos o gradiente geral, vamos calcular o gradiente no ponto . Para isso, substituímos e na expressão do gradiente.
Primeiro, vamos calcular o termo dentro do cosseno:
Então,
Agora, substituímos esse valor no gradiente:

Passo 4

Por último, vamos determinar a taxa de variação de em na direção do vetor .
A taxa de variação direcional é calculada pelo produto escalar entre o gradiente no ponto e o vetor de direção. Mas atenção: o vetor já é um vetor unitário, então não precisamos normalizar.
Então, temos:
Calculando o produto escalar:

Resposta

A taxa de variação de no ponto na direção do vetor é .

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Seja
o campo elétrico criado por uma carga localizada na origem.
Verifique que em .
Calcule as derivadas:
Nos itens abaixo, faça o que se pede: (1) Determine o gradiente de ; (2) Calcule o gradiente no ponto ; (3) Determine a taxa de variação de em na direção do vetor .
Esboce a curva em coordenadas polares: