Seja
o campo elétrico criado por uma carga
localizada na origem.
Verifique que
em
.
Verifique que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema que temos aqui é o seguinte: dado o campo elétrico
criado por uma carga
na origem, precisamos verificar se a divergência desse campo
é igual a zero em todo o espaço tridimensional, exceto no ponto onde está a carga (ou seja, em
). Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a operação de divergência. Vamos precisar das fórmulas para calcular a divergência de um campo vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever o campo elétrico dado para facilitar a visualização:
Podemos simplificar isso combinando os termos:
Essa forma mostra que o campo elétrico depende das coordenadas
,
e
e está direcionado radialmente a partir da origem.
Passo 3
Agora, vamos lembrar como calcular a divergência de um campo vetorial. A divergência de
é dada por:
Ou seja, iremos derivar cada componente do campo elétrico em relação à sua respectiva coordenada e somar os resultados.
Passo 4
Vamos identificar as componentes do nosso campo elétrico:
Agora, vamos calcular cada derivada parcial:
Primeiro,
:
Usando a regra do quociente:
Usando a regra do quociente:
Passo 5
Simplificando a derivada de
:
Fatorando
no numerador:
Então:
Passo 6
De forma similar, calculamos
e
:
Passo 7
Agora, somamos essas três derivadas para obter a divergência:
Substituindo os valores:
Passo 8
Simplificando a expressão:
Somando os termos do numerador:
Então:
Resposta
Concluímos que
em
, ou seja, a divergência do campo elétrico é zero em todo o espaço tridimensional, exceto no ponto onde está localizada a carga
.
Exercícios relacionados
Calcule as derivadas:
Suponha que um campo vetorial
seja tangente à superfície
de uma região
. É verdade que
Nos itens abaixo, faça o que se pede: (1) Determine o gradiente de
; (2) Calcule o gradiente no ponto
; (3) Determine a taxa de variação de
em
na direção do vetor
.
Nos itens abaixo, faça o que se pede: (1) Determine o gradiente de
; (2) Calcule o gradiente no ponto
; (3) Determine a taxa de variação de
em
na direção do vetor
.