Seja
o campo elétrico criado por uma carga localizada na origem.
Verifique que em .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema que temos aqui é o seguinte: dado o campo elétrico criado por uma carga na origem, precisamos verificar se a divergência desse campo é igual a zero em todo o espaço tridimensional, exceto no ponto onde está a carga (ou seja, em ). Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a operação de divergência. Vamos precisar das fórmulas para calcular a divergência de um campo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o campo elétrico dado para facilitar a visualização:
Podemos simplificar isso combinando os termos:
Essa forma mostra que o campo elétrico depende das coordenadas , e e está direcionado radialmente a partir da origem.

Passo 3

Agora, vamos lembrar como calcular a divergência de um campo vetorial. A divergência de é dada por:
Ou seja, iremos derivar cada componente do campo elétrico em relação à sua respectiva coordenada e somar os resultados.

Passo 4

Vamos identificar as componentes do nosso campo elétrico:
Agora, vamos calcular cada derivada parcial:
Primeiro, :
Usando a regra do quociente:

Passo 5

Simplificando a derivada de :
Fatorando no numerador:
Então:

Passo 6

De forma similar, calculamos e :

Passo 7

Agora, somamos essas três derivadas para obter a divergência:
Substituindo os valores:

Passo 8

Simplificando a expressão:
Somando os termos do numerador:
Então:

Resposta

Concluímos que em , ou seja, a divergência do campo elétrico é zero em todo o espaço tridimensional, exceto no ponto onde está localizada a carga .

Exercícios relacionados

Calcule as derivadas:
Suponha que um campo vetorial seja tangente à superfície de uma região . É verdade que
Nos itens abaixo, faça o que se pede: (1) Determine o gradiente de ; (2) Calcule o gradiente no ponto ; (3) Determine a taxa de variação de em na direção do vetor .
Nos itens abaixo, faça o que se pede: (1) Determine o gradiente de ; (2) Calcule o gradiente no ponto ; (3) Determine a taxa de variação de em na direção do vetor .