Nos itens abaixo, faça o que se pede: (1) Determine o gradiente de
; (2) Calcule o gradiente no ponto
; (3) Determine a taxa de variação de
em
na direção do vetor
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, o enunciado pede para a gente trabalhar com a função
. O conteúdo que vamos usar aqui é cálculo multivariável, especificamente o conceito de gradiente e taxa de variação direcional. Para resolver tudo, precisamos saber como calcular derivadas parciais e como usar o vetor direção da forma correta.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que aponta na direção da maior taxa de aumento de
e é composto pelas derivadas parciais de
em relação a
e
.
Então, vamos calcular as derivadas parciais:
Portanto, o gradiente de
é:
Passo 3
Agora, vamos calcular o gradiente no ponto
. É só substituir
e
na expressão do gradiente que encontramos.
Primeiro, calculamos
,
e
.
Então,
Passo 4
Por fim, vamos determinar a taxa de variação de
em
na direção do vetor
. Para isso, usamos a fórmula da taxa de variação direcional, que é o produto escalar do gradiente no ponto com o vetor direção unitário.
Primeiro, vamos transformar
em um vetor unitário. A gente calcula o comprimento de
:
Então, o vetor unitário na direção de
é:
Agora, fazemos o produto escalar do gradiente em
com
:
Calculando:
Resposta
- O gradiente de
é . - No ponto
, o gradiente é . - A taxa de variação de
em na direção de é .
Exercícios relacionados
Nos itens abaixo, faça o que se pede: (1) Determine o gradiente de
; (2) Calcule o gradiente no ponto
; (3) Determine a taxa de variação de
em
na direção do vetor
.
Seja
o campo elétrico criado por uma carga
localizada na origem.
Verifique que em
.
Verifique que
Esboce a curva em coordenadas polares:
Nos itens abaixo, faça o que se pede: (1) Determine o gradiente de
; (2) Calcule o gradiente no ponto
; (3) Determine a taxa de variação de
em
na direção do vetor
.