Nos itens abaixo, faça o que se pede: (1) Determine o gradiente de ; (2) Calcule o gradiente no ponto ; (3) Determine a taxa de variação de em na direção do vetor .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, o enunciado pede para a gente trabalhar com a função . O conteúdo que vamos usar aqui é cálculo multivariável, especificamente o conceito de gradiente e taxa de variação direcional. Para resolver tudo, precisamos saber como calcular derivadas parciais e como usar o vetor direção da forma correta.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o gradiente da função . O gradiente é um vetor que aponta na direção da maior taxa de aumento de e é composto pelas derivadas parciais de em relação a e .
Então, vamos calcular as derivadas parciais:
Portanto, o gradiente de é:

Passo 3

Agora, vamos calcular o gradiente no ponto . É só substituir e na expressão do gradiente que encontramos.
Primeiro, calculamos , e .
Então,

Passo 4

Por fim, vamos determinar a taxa de variação de em na direção do vetor . Para isso, usamos a fórmula da taxa de variação direcional, que é o produto escalar do gradiente no ponto com o vetor direção unitário.
Primeiro, vamos transformar em um vetor unitário. A gente calcula o comprimento de :
Então, o vetor unitário na direção de é:
Agora, fazemos o produto escalar do gradiente em com :
Calculando:

Resposta

  1. O gradiente de é .
  2. No ponto , o gradiente é .
  3. A taxa de variação de em na direção de é .

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Nos itens abaixo, faça o que se pede: (1) Determine o gradiente de ; (2) Calcule o gradiente no ponto ; (3) Determine a taxa de variação de em na direção do vetor .
Seja
o campo elétrico criado por uma carga localizada na origem.
Verifique que em .
Esboce a curva em coordenadas polares:
Nos itens abaixo, faça o que se pede: (1) Determine o gradiente de ; (2) Calcule o gradiente no ponto ; (3) Determine a taxa de variação de em na direção do vetor .