Nos itens abaixo, faça o que se pede: (1) Determine o gradiente de ; (2) Calcule o gradiente no ponto ; (3) Determine a taxa de variação de em na direção do vetor .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente trabalhar com a função e o ponto junto com o vetor . O conteúdo que vamos usar aqui é cálculo diferencial, especificamente o conceito de gradiente e taxa de variação direcional. Para resolver isso, a gente precisa saber calcular derivadas parciais, entender o que é o gradiente e como ele se relaciona com a direção da variação da função.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o gradiente de . O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função e cujas componentes são as derivadas parciais de em relação a e . Ou seja, se , então:
Vamos calcular essas derivadas.

Passo 3

Calculando a derivada parcial de em relação a :
Agora, a derivada parcial de em relação a :
Então, o gradiente de é:

Passo 4

Agora, vamos calcular o gradiente no ponto . Basta substituir e na expressão que encontramos:

Passo 5

Por último, vamos determinar a taxa de variação de no ponto na direção do vetor . A taxa de variação direcional é dada pelo produto escalar entre o gradiente de em e um vetor unitário na direção de .
Primeiro, vamos transformar em um vetor unitário :
Agora, calculamos o produto escalar:

Resposta

A taxa de variação de no ponto na direção do vetor é .

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Esboce a curva em coordenadas polares:
Nos itens abaixo, faça o que se pede: (1) Determine o gradiente de ; (2) Calcule o gradiente no ponto ; (3) Determine a taxa de variação de em na direção do vetor .
Trace curvas de nível das seguintes funções para os valores de indicados:
e
Nos itens abaixo, faça o que se pede: (1) Determine o gradiente de ; (2) Calcule o gradiente no ponto ; (3) Determine a taxa de variação de em na direção do vetor .