Nos itens abaixo, faça o que se pede: (1) Determine o gradiente de
; (2) Calcule o gradiente no ponto
; (3) Determine a taxa de variação de
em
na direção do vetor
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente trabalhar com a função
e o ponto
junto com o vetor
. O conteúdo que vamos usar aqui é cálculo diferencial, especificamente o conceito de gradiente e taxa de variação direcional. Para resolver isso, a gente precisa saber calcular derivadas parciais, entender o que é o gradiente e como ele se relaciona com a direção da variação da função.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o gradiente de
. O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função e cujas componentes são as derivadas parciais de
em relação a
e
. Ou seja, se
, então:
Vamos calcular essas derivadas.
Passo 3
Calculando a derivada parcial de
em relação a
:
Agora, a derivada parcial de
em relação a
:
Então, o gradiente de
é:
Passo 4
Agora, vamos calcular o gradiente no ponto
. Basta substituir
e
na expressão que encontramos:
Passo 5
Por último, vamos determinar a taxa de variação de
no ponto
na direção do vetor
. A taxa de variação direcional é dada pelo produto escalar entre o gradiente de
em
e um vetor unitário na direção de
.
Primeiro, vamos transformar
em um vetor unitário
:
Agora, calculamos o produto escalar:
Resposta
A taxa de variação de
no ponto
na direção do vetor
é
.
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Esboce a curva em coordenadas polares:
Nos itens abaixo, faça o que se pede: (1) Determine o gradiente de
; (2) Calcule o gradiente no ponto
; (3) Determine a taxa de variação de
em
na direção do vetor
.
Trace curvas de nível das seguintes funções para os valores de
indicados:
e
Nos itens abaixo, faça o que se pede: (1) Determine o gradiente de
; (2) Calcule o gradiente no ponto
; (3) Determine a taxa de variação de
em
na direção do vetor
.