Nos itens abaixo, integre a função dada sobre a região indicada:
é a região limitada por
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para integrarmos a função
sobre a região
limitada por
,
e
. Vamos usar cálculo integral múltiplo, especificamente integrais triplas, para resolver isso. Precisamos entender bem os limites de integração para
,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região
. A equação
representa uma elipse no plano
. Podemos reescrever isso como
, o que nos dá os limites para
e
. A variável
varia de
até
.
Passo 3
Vamos determinar os limites para
. Da equação da elipse, para
, temos
, então
varia de
a
. Portanto,
.
Passo 4
Agora, para cada valor de
, vamos encontrar os limites para
. Da elipse
, resolvemos para
:
Então,
varia de
a
.
Passo 5
Finalmente, para cada ponto
na elipse,
varia de
a
. Assim, os limites para
são:
Passo 6
Agora, podemos montar a integral tripla para calcular o volume:
Passo 7
Vamos resolver a integral em relação a
primeiro:
Passo 8
Substituindo de volta na integral, temos:
Passo 9
Como a parte interna da integral não depende de
, podemos simplificar integrando em relação a
:
Passo 10
Agora, a integral fica:
Passo 11
Esse tipo de integral pode ser resolvido por substituição trigonométrica ou mudança de variável. Vamos fazer a substituição
, onde
varia de
a
.
Passo 12
Com
, temos
e
. Substituindo na integral:
Passo 13
Simplificando:
Passo 14
Expandindo
:
Então, a integral fica:
Passo 15
Agora, integramos termo a termo:
Passo 16
Resolvendo cada uma dessas integrais:
-
-
(pela simetria) -
Passo 17
Substituindo os valores:
Resposta
O valor da integral é
.