Nos itens abaixo, integre a função dada sobre a região indicada: é a região limitada por .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para integrarmos a função sobre a região limitada por , e . Vamos usar cálculo integral múltiplo, especificamente integrais triplas, para resolver isso. Precisamos entender bem os limites de integração para , e .

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região . A equação representa uma elipse no plano . Podemos reescrever isso como , o que nos dá os limites para e . A variável varia de até .

Passo 3

Vamos determinar os limites para . Da equação da elipse, para , temos , então varia de a . Portanto, .

Passo 4

Agora, para cada valor de , vamos encontrar os limites para . Da elipse , resolvemos para :
Então, varia de a .

Passo 5

Finalmente, para cada ponto na elipse, varia de a . Assim, os limites para são:

Passo 6

Agora, podemos montar a integral tripla para calcular o volume:

Passo 7

Vamos resolver a integral em relação a primeiro:

Passo 8

Substituindo de volta na integral, temos:

Passo 9

Como a parte interna da integral não depende de , podemos simplificar integrando em relação a :

Passo 10

Agora, a integral fica:

Passo 11

Esse tipo de integral pode ser resolvido por substituição trigonométrica ou mudança de variável. Vamos fazer a substituição , onde varia de a .

Passo 12

Com , temos e . Substituindo na integral:

Passo 13

Simplificando:

Passo 14

Expandindo :
Então, a integral fica:

Passo 15

Agora, integramos termo a termo:

Passo 16

Resolvendo cada uma dessas integrais:
  1. (pela simetria)

Passo 17

Substituindo os valores:

Resposta

O valor da integral é .

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