Mude a ordem de integração de
para obter cinco outras integrais iteradas equivalentes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mudarmos a ordem de integração de uma integral tripla que está assim:
Estamos trabalhando com integrais múltiplas, mais especificamente integrais triplas. Para resolver isso, precisamos entender como os limites de integração mudam quando alteramos a ordem das integrais. Vamos precisar visualizar a região de integração e reorganizar os limites de acordo com a nova ordem escolhida.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a região de integração original. Aqui,
varia de 0 a 2,
varia de 0 a
, e
varia de 0 a
. Isso significa que estamos integrando sobre um tetraedro no espaço onde
.
Passo 3
Agora, vamos escolher uma nova ordem de integração. Por exemplo, vamos começar integrando em relação a
, depois
, e por fim
. Precisamos determinar os novos limites para cada variável.
-
varia de a (já que ) -
varia de 0 a -
varia de 0 a 2
Então, a nova integral fica:
Passo 4
Vamos fazer outra mudança de ordem. Vamos integrar primeiro em relação a
, depois
, e por último
.
-
varia de a 2 (já que ) -
varia de a 2 -
varia de 0 a 2
A integral fica assim:
Passo 5
Outra opção é integrar primeiro em relação a
, depois
, e por último
.
-
varia de 0 a -
varia de a 2 -
varia de 0 a 2
A integral fica:
Passo 6
Vamos mudar para integrar primeiro em
, depois
, e por último
.
-
varia de 0 a -
varia de a 2 -
varia de a 2
A integral resultante é:
Passo 7
Por último, vamos integrar primeiro em
, depois
, e por último
.
-
varia de a 2 -
varia de 0 a -
varia de 0 a 2
A integral fica:
Resposta
As cinco integrais iteradas equivalentes são: