Mude a ordem de integração de para obter cinco outras integrais iteradas equivalentes.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mudarmos a ordem de integração de uma integral tripla que está assim:
Estamos trabalhando com integrais múltiplas, mais especificamente integrais triplas. Para resolver isso, precisamos entender como os limites de integração mudam quando alteramos a ordem das integrais. Vamos precisar visualizar a região de integração e reorganizar os limites de acordo com a nova ordem escolhida.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a região de integração original. Aqui, varia de 0 a 2, varia de 0 a , e varia de 0 a . Isso significa que estamos integrando sobre um tetraedro no espaço onde .

Passo 3

Agora, vamos escolher uma nova ordem de integração. Por exemplo, vamos começar integrando em relação a , depois , e por fim . Precisamos determinar os novos limites para cada variável.
  • varia de a (já que )
  • varia de 0 a
  • varia de 0 a 2
Então, a nova integral fica:

Passo 4

Vamos fazer outra mudança de ordem. Vamos integrar primeiro em relação a , depois , e por último .
  • varia de a 2 (já que )
  • varia de a 2
  • varia de 0 a 2
A integral fica assim:

Passo 5

Outra opção é integrar primeiro em relação a , depois , e por último .
  • varia de 0 a
  • varia de a 2
  • varia de 0 a 2
A integral fica:

Passo 6

Vamos mudar para integrar primeiro em , depois , e por último .
  • varia de 0 a
  • varia de a 2
  • varia de a 2
A integral resultante é:

Passo 7

Por último, vamos integrar primeiro em , depois , e por último .
  • varia de a 2
  • varia de 0 a
  • varia de 0 a 2
A integral fica:

Resposta

As cinco integrais iteradas equivalentes são:

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