Seja . Sem realizar qualquer cálculo explícito de uma integral iterada, determine o valor da integral usando geometria e considerações de simetria.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral tripla , onde é a esfera definida por . Aqui, vamos usar conceitos de geometria e simetria para facilitar a resolução, sem precisar fazer integrais complicadas. Vamos precisar entender um pouco sobre simetria de funções e volume de esferas.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
Assim, a gente tem que calcular a integral de sobre a esfera e somar com a integral de sobre a mesma região.

Passo 3

Vamos analisar a primeira parte: . Note que a função é ímpar em relação ao eixo , ou seja, se mudarmos para , a função vira . Como a esfera é simétrica em relação ao plano , as contribuições positivas e negativas de se cancelam. Portanto:

Passo 4

Agora, vamos para a segunda parte: . Essa integral é simplesmente 2 vezes o volume da esfera . Então, precisamos calcular o volume dessa esfera.

Passo 5

O volume de uma esfera com raio é dado pela fórmula:
No nosso caso, a esfera tem raio , já que implica que .

Passo 6

Calculando o volume:
Então, a integral fica:

Resposta

O valor da integral é .

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