Seja
. Sem realizar qualquer cálculo explícito de uma integral iterada, determine o valor da integral
usando geometria e considerações de simetria.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral tripla
, onde
é a esfera definida por
. Aqui, vamos usar conceitos de geometria e simetria para facilitar a resolução, sem precisar fazer integrais complicadas. Vamos precisar entender um pouco sobre simetria de funções e volume de esferas.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
Assim, a gente tem que calcular a integral de
sobre a esfera e somar com a integral de
sobre a mesma região.
Passo 3
Vamos analisar a primeira parte:
. Note que a função
é ímpar em relação ao eixo
, ou seja, se mudarmos
para
, a função vira
. Como a esfera
é simétrica em relação ao plano
, as contribuições positivas e negativas de
se cancelam. Portanto:
Passo 4
Agora, vamos para a segunda parte:
. Essa integral é simplesmente 2 vezes o volume da esfera
. Então, precisamos calcular o volume dessa esfera.
Passo 5
O volume
de uma esfera com raio
é dado pela fórmula:
No nosso caso, a esfera
tem raio
, já que
implica que
.
Passo 6
Calculando o volume:
Então, a integral
fica:
Resposta
O valor da integral é
.