Nos itens abaixo, sabe-se que os limites existem. Calcule-os.
b)
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite que o exercício pediu. A questão está no conteúdo de limites de funções, especificamente envolvendo funções racionais onde temos polinômios no numerador e denominador. Para resolver, vamos precisar entender como calcular limites substituindo diretamente o valor para o qual a variável está tendendo, desde que o denominador não se anule nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função e o ponto para o qual
está tendendo. A função dada é:
E queremos calcular o limite quando
se aproxima de
.
Passo 3
Antes de substituir, precisamos verificar se o denominador não se anula nesse ponto, porque se o denominador for zero, precisaríamos de outra estratégia. Vamos calcular
quando
:
Como
não é zero, podemos prosseguir com a substituição direta.
Passo 4
Agora, substituímos
na função. Primeiro, vamos calcular o numerador
:
Calculando
:
Então,
Somando tudo no numerador:
Passo 5
Agora, substituímos no denominador
. Então, a função fica:
Para simplificar essa expressão, multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador, que é
:
Então, podemos separar em parte real e imaginária:
Resposta
O limite é:
Exercícios relacionados
Mostre que as funções abaixo são analíticas em domínios apropriados.
c)
c)
Nos itens abaixo, mostre que a função indicada não é analítica em nenhum lugar.
b)
b)
Use as regras de derivação para determinar as derivadas das funções abaixo.
d)
d)
Nos itens abaixo, mostre que a função indicada não é analítica em nenhum lugar.
d)
d)