Nos itens abaixo, sabe-se que os limites existem. Calcule-os.
b) lim z 1-i 5 z^2-2 z+2z+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite que o exercício pediu. A questão está no conteúdo de limites de funções, especificamente envolvendo funções racionais onde temos polinômios no numerador e denominador. Para resolver, vamos precisar entender como calcular limites substituindo diretamente o valor para o qual a variável está tendendo, desde que o denominador não se anule nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função e o ponto para o qual 5z^2 - 2z + 2z + 1 está tendendo. A função dada é:
E queremos calcular o limite quando se aproxima de .

Passo 3

Antes de substituir, precisamos verificar se o denominador não se anula nesse ponto, porque se o denominador for zero, precisaríamos de outra estratégia. Vamos calcular z + 1 = (1 - i) + 1 = 2 - i quando :
Como não é zero, podemos prosseguir com a substituição direta.

Passo 4

Agora, substituímos z = 1 - i na função. Primeiro, vamos calcular o numerador z^2 = (1 - i)^2 = 1 - 2i + i^2 = 1 - 2i - 1 = -2i :
5z^2 = 5(-2i) = -10i
Calculando -2z = -2(1 - i) = -2 + 2i :
-10i - 2 + 2i + 2 = (-10i + 2i) + (-2 + 2) = -8i + 0 = -8i
Então,
Somando tudo no numerador:

Passo 5

Agora, substituímos no denominador -8i2 - i . Então, a função fica:
-8i(2 + i)(2 - i)(2 + i) = -16i - 8i^24 + 2i - 2i - i^2 = -16i - 8(-1)4 + 1 = -16i + 85 = 8 - 16i5
Para simplificar essa expressão, multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador, que é 85 - 165i :
Então, podemos separar em parte real e imaginária:

Resposta

O limite é:
85 - 165i

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