(1,0 ponto) Determine os valores de e de modo que o vetor tenha norma igual a e seja perpendicular ao vetor .
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar os valores de e para que o vetor tenha uma norma igual a e seja perpendicular ao vetor . Para resolver isso, vamos usar os conceitos de norma de vetores e produto escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a norma do vetor . A norma de um vetor é dada por:
No nosso caso, , então:
Passo 3
Para eliminar a raiz, elevamos ambos os lados ao quadrado:
Agora, subtraímos 1 de ambos os lados para simplificar:
Passo 4
Agora, vamos garantir que seja perpendicular a . Dois vetores são perpendiculares se o produto escalar entre eles for zero. O produto escalar de e é dado por:
Aplicando isso aos nossos vetores:
Simplificando:
Passo 5
Agora, temos um sistema de duas equações:
Vamos resolver esse sistema. Da Equação 2, podemos isolar :
Passo 6
Substituindo na Equação 1:
Expandindo o quadrado:
Simplificando:
Subtraindo 2 de ambos os lados:
Passo 7
Podemos simplificar dividindo toda a equação por 2:
Agora, vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Onde , e .
Calculando o discriminante ():
Então:
Isso nos dá duas soluções:
Passo 8
Agora que temos os valores de , vamos encontrar os correspondentes valores de usando :
Para :
Para :
Resposta
Os valores de e que satisfazem as condições da questão são: