(1,0 ponto) Determine os valores de e de modo que o vetor tenha norma igual a e seja perpendicular ao vetor .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar os valores de e para que o vetor tenha uma norma igual a e seja perpendicular ao vetor . Para resolver isso, vamos usar os conceitos de norma de vetores e produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a norma do vetor . A norma de um vetor é dada por:
No nosso caso, , então:

Passo 3

Para eliminar a raiz, elevamos ambos os lados ao quadrado:
Agora, subtraímos 1 de ambos os lados para simplificar:
çã

Passo 4

Agora, vamos garantir que seja perpendicular a . Dois vetores são perpendiculares se o produto escalar entre eles for zero. O produto escalar de e é dado por:
Aplicando isso aos nossos vetores:
Simplificando:
çã

Passo 5

Agora, temos um sistema de duas equações:
çãçã
Vamos resolver esse sistema. Da Equação 2, podemos isolar :

Passo 6

Substituindo na Equação 1:
Expandindo o quadrado:
Simplificando:
Subtraindo 2 de ambos os lados:

Passo 7

Podemos simplificar dividindo toda a equação por 2:
Agora, vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Onde , e .
Calculando o discriminante ( ):
Então:
Isso nos dá duas soluções:

Passo 8

Agora que temos os valores de , vamos encontrar os correspondentes valores de usando :
Para :
Para :

Resposta

Os valores de e que satisfazem as condições da questão são:
  1. e
  2. e

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Nos itens abaixo, temos as formas escalonadas reduzidas das matrizes ampliadas de oito sistemas lineares. Resolva cada sistema.
(h)
(1,0 ponto) Determine o produto vetorial , onde e .
Escreva definição de um base de .(2 pontos)