(1,0 ponto) Determine os valores de x e y de modo que o vetor u=(x, y, 1) tenha norma igual a raiz3 e seja perpendicular ao vetor v=(1,3,4).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar os valores de e para que o vetor tenha uma norma igual a e seja perpendicular ao vetor . Para resolver isso, vamos usar os conceitos de norma de vetores e produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a norma do vetor |u| = raizx^2 + y^2 + z^2 . A norma de um vetor |u| = raizx^2 + y^2 + 1 = raiz3 é dada por:
No nosso caso, , então:

Passo 3

Para eliminar a raiz, elevamos ambos os lados ao quadrado:
x^2 + y^2 + 1 = 3
Agora, subtraímos 1 de ambos os lados para simplificar:
x^2 + y^2 = 2 (Equação 1) çã

Passo 4

Agora, vamos garantir que u cdot v = xa + yb + zc seja perpendicular a u cdot v = x cdot 1 + y cdot 3 + 1 cdot 4 = 0 . Dois vetores são perpendiculares se o produto escalar entre eles for zero. O produto escalar de x + 3y + 4 = 0 (Equação 2) e é dado por:
Aplicando isso aos nossos vetores:
Simplificando:
çã

Passo 5

Agora, temos um sistema de duas equações:
x^2 + y^2 = 2 (Equação 1) x + 3y + 4 = 0 (Equação 2) çãçã
Vamos resolver esse sistema. Da Equação 2, podemos isolar x = -3y - 4 :

Passo 6

Substituindo (-3y - 4)^2 + y^2 = 2 na Equação 1:
9y^2 + 24y + 16 + y^2 = 2
Expandindo o quadrado:
10y^2 + 24y + 16 = 2
Simplificando:
10y^2 + 24y + 14 = 0
Subtraindo 2 de ambos os lados:

Passo 7

Podemos simplificar dividindo toda a equação por 2:
5y^2 + 12y + 7 = 0
Agora, vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
y = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Onde De, y = -12 pm raiz410 = -12 pm 210 e .
Calculando o discriminante ( ):
Então:
Isso nos dá duas soluções:

Passo 8

Agora que temos os valores de x = -3(-1) - 4 = 3 - 4 = -1 , vamos encontrar os correspondentes valores de x = -3(-1,4) - 4 = 4,2 - 4 = 0,2 usando :
Para :
Para :

Resposta

Os valores de e que satisfazem as condições da questão são:
  1. e
  2. e

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