(1,0 ponto) Determine os valores de
e
de modo que o vetor
tenha norma igual a
e seja perpendicular ao vetor
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar os valores de
e
para que o vetor
tenha uma norma igual a
e seja perpendicular ao vetor
. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de norma de vetores e produto escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a norma do vetor
. A norma de um vetor
é dada por:
No nosso caso,
, então:
Passo 3
Para eliminar a raiz, elevamos ambos os lados ao quadrado:
Agora, subtraímos 1 de ambos os lados para simplificar:
Passo 4
Agora, vamos garantir que
seja perpendicular a
. Dois vetores são perpendiculares se o produto escalar entre eles for zero. O produto escalar de
e
é dado por:
Aplicando isso aos nossos vetores:
Simplificando:
Passo 5
Agora, temos um sistema de duas equações:
Vamos resolver esse sistema. Da Equação 2, podemos isolar
:
Passo 6
Substituindo
na Equação 1:
Expandindo o quadrado:
Simplificando:
Subtraindo 2 de ambos os lados:
Passo 7
Podemos simplificar dividindo toda a equação por 2:
Agora, vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
e
.
Calculando o discriminante (
):
Então:
Isso nos dá duas soluções:
Passo 8
Agora que temos os valores de
, vamos encontrar os correspondentes valores de
usando
:
Para
:
Para
:
Resposta
Os valores de
e
que satisfazem as condições da questão são:
-
e -
e