Nos itens abaixo, teste o teorema de Gauss
integralpartial Omega F cdot d S=integral triplaOmega div F d x d y d z=integral triplaOmega nabla cdot F d x d y d z,
onde a fronteira partial B da região Omega subset R^3 está orientada pelo vetor normal exterior.
(b) F(x, y, z)=(x^2, y^2, z^2), e B:(x-a)^2+y^2+z^2 <= a^2;

Passo 1

Beleza, então a gente tem que testar o Teorema de Gauss para o campo vetorial e para a região que é uma esfera com centro em e raio , ou seja, . O Teorema de Gauss relaciona a integral de superfície de na fronteira de com a integral de volume da divergência de dentro de . A gente vai precisar calcular ambas as integrais pra ver se elas são iguais, confirmando o teorema.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a divergência de div F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z , que é uma parte chave do teorema. A divergência de um campo vetorial div F = partialpartial x(x^2) + partialpartial y(y^2) + partialpartial z(z^2) = 2x + 2y + 2z é dada por:
No nosso caso, , e . Então:

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral de volume da divergência dentro da região integral triplaB div F , dV = integral triplaB (2x + 2y + 2z) , dV = 2 integral triplaB (x + y + z) , dV :
2 integral triplaB x , dV
Como integral triplaB x , dV = a cdot Volume(B) = a cdot 43pi a^3 = 43pi a^4 é uma esfera centrada em 2 cdot 43pi a^4 = 83pi a^4 , podemos simplificar a integral mudando para coordenadas esféricas deslocadas ou notar que, devido à simetria, as integrais de e sobre a esfera serão zero, já que para cada ponto positivo há um correspondente negativo que cancela. Portanto:
Usando a simetria da esfera deslocada, a integral de sobre será igual ao centro de massa vezes o volume. Como a esfera está centrada em , temos:
Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral de superfície de ointpartial B F cdot dS na fronteira de dS = (x - a, y, z)a cdot a^2 sin theta , dtheta , dphi = (x - a, y, z) cdot a sin theta , dtheta , dphi :
F cdot dS = (x^2, y^2, z^2) cdot (x - a, y, z) , dS = x^2(x - a) + y^2y + z^2z
Para uma esfera com raio ointpartial B F cdot dS = 83pi a^4 centrada em , o vetor normal externo em cada ponto é . Então, o elemento de área vetorial é:
O ponto simplifica porque, na integral, , , .
Calculando :
Devido à simetria novamente, muitas partes irão se cancelar ou integrar de forma similar ao passo anterior, resultando em:

Resposta

As duas integrais são iguais e valem , confirmando o Teorema de Gauss para o campo e a região dados.

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