Nos itens abaixo, teste o teorema de Gauss
onde a fronteira da região está orientada pelo vetor normal exterior.
(b) , e ;

Passo 1

Beleza, então a gente tem que testar o Teorema de Gauss para o campo vetorial e para a região que é uma esfera com centro em e raio , ou seja, . O Teorema de Gauss relaciona a integral de superfície de na fronteira de com a integral de volume da divergência de dentro de . A gente vai precisar calcular ambas as integrais pra ver se elas são iguais, confirmando o teorema.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a divergência de , que é uma parte chave do teorema. A divergência de um campo vetorial é dada por:
No nosso caso, , e . Então:

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral de volume da divergência dentro da região :
Como é uma esfera centrada em , podemos simplificar a integral mudando para coordenadas esféricas deslocadas ou notar que, devido à simetria, as integrais de e sobre a esfera serão zero, já que para cada ponto positivo há um correspondente negativo que cancela. Portanto:
Usando a simetria da esfera deslocada, a integral de sobre será igual ao centro de massa vezes o volume. Como a esfera está centrada em , temos:
Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral de superfície de na fronteira de :
Para uma esfera com raio centrada em , o vetor normal externo em cada ponto é . Então, o elemento de área vetorial é:
O ponto simplifica porque, na integral, , , .
Calculando :
Devido à simetria novamente, muitas partes irão se cancelar ou integrar de forma similar ao passo anterior, resultando em:

Resposta

As duas integrais são iguais e valem , confirmando o Teorema de Gauss para o campo e a região dados.

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