Nos itens abaixo, teste o teorema de Gauss
onde a fronteira
da região
está orientada pelo vetor normal exterior.
(b)
, e
;
(b)
Passo 1
Beleza, então a gente tem que testar o Teorema de Gauss para o campo vetorial
e para a região
que é uma esfera com centro em
e raio
, ou seja,
. O Teorema de Gauss relaciona a integral de superfície de
na fronteira de
com a integral de volume da divergência de
dentro de
. A gente vai precisar calcular ambas as integrais pra ver se elas são iguais, confirmando o teorema.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a divergência de
, que é uma parte chave do teorema. A divergência de um campo vetorial
é dada por:
No nosso caso,
,
e
. Então:
Passo 3
Agora, vamos calcular a integral de volume da divergência dentro da região
:
Como
é uma esfera centrada em
, podemos simplificar a integral mudando para coordenadas esféricas deslocadas ou notar que, devido à simetria, as integrais de
e
sobre a esfera serão zero, já que para cada ponto positivo há um correspondente negativo que cancela. Portanto:
Usando a simetria da esfera deslocada, a integral de
sobre
será igual ao centro de massa vezes o volume. Como a esfera está centrada em
, temos:
Então:
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral de superfície de
na fronteira de
:
Para uma esfera com raio
centrada em
, o vetor normal externo em cada ponto é
. Então, o elemento de área vetorial
é:
O ponto simplifica porque, na integral,
,
,
.
Calculando
:
Devido à simetria novamente, muitas partes irão se cancelar ou integrar de forma similar ao passo anterior, resultando em:
Resposta
As duas integrais são iguais e valem
, confirmando o Teorema de Gauss para o campo e a região dados.
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