Teste a série quanto a convergência ou divergência usando o teste das séries alternadas. Caso a série não satisfaça as condições do teste das séries alternadas, tente o teste da divergência.
(e)
(e)
Passo 1
Vamos lá! Você quer saber se a série
converge ou diverge. Para isso, vamos usar o teste das séries alternadas. Se essa série não cumprir as condições desse teste, vamos tentar usar o teste da divergência.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os termos da série. A série é alternada por causa do
, então podemos escrever:
O teste das séries alternadas diz que uma série da forma
converge se duas condições forem atendidas:
- Os termos
são positivos e decrescentes. - O limite de
quando tende ao infinito é zero, ou seja, .
Vamos verificar essas condições.
Passo 3
Primeiro, vamos calcular o limite de
:
Sabemos que
tende a zero quando
tende ao infinito. E
. Portanto:
Como o limite não é zero, a segunda condição do teste das séries alternadas não é satisfeita.
Passo 4
Já que o teste das séries alternadas não confirmou a convergência, vamos usar o teste da divergência. Esse teste diz que se o limite dos termos gerais de uma série não for zero, a série diverge.
Como vimos que:
Então, pelo teste da divergência, a série diverge.
Resposta
A série
diverge.
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Teste a série quanto a convergência ou divergência
(h)
(h)
Teste a série quanto a convergência ou divergência usando o teste das séries alternadas. Caso a série não satisfaça as condições do teste das séries alternadas, tente o teste da divergência.
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Nos itens abaixo, verifique que
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