Teste a série quanto a convergência ou divergência usando o teste das séries alternadas. Caso a série não satisfaça as condições do teste das séries alternadas, tente o teste da divergência.
(e) sumn=1^infty(-1)^n cos (pin)

Passo 1

Vamos lá! Você quer saber se a série converge ou diverge. Para isso, vamos usar o teste das séries alternadas. Se essa série não cumprir as condições desse teste, vamos tentar usar o teste da divergência.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos da série. A série é alternada por causa do an = cos(pin) , então podemos escrever:
O teste das séries alternadas diz que uma série da forma converge se duas condições forem atendidas:
  1. Os termos são positivos e decrescentes.
  2. O limite de quando tende ao infinito é zero, ou seja, .
Vamos verificar essas condições.

Passo 3

Primeiro, vamos calcular o limite de limn to infty cos(pin) :
limn to infty cos(pin) = 1
Sabemos que tende a zero quando tende ao infinito. E . Portanto:
Como o limite não é zero, a segunda condição do teste das séries alternadas não é satisfeita.

Passo 4

Já que o teste das séries alternadas não confirmou a convergência, vamos usar o teste da divergência. Esse teste diz que se o limite dos termos gerais de uma série não for zero, a série diverge.
Como vimos que:
limn to infty an = 1 neq 0
Então, pelo teste da divergência, a série diverge.

Resposta

A série diverge.

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