Verifique se as afirmações a seguir são verdadeiras ou falsas. Justifique.
é base do
quando
Passo 1
Vamos analisar o enunciado: temos o conjunto
e queremos verificar se ele é uma base do
, dado que
não pertence à reta definida por
. Para resolver isso, precisamos entender os conceitos de base, independência linear e geração de espaço vetorial no contexto da Álgebra Linear.
Passo 2
Primeiro, uma base de um espaço vetorial, como o
, é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. Isso significa que qualquer vetor no espaço pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores.
Passo 3
Para verificar se
é uma base, precisamos garantir duas coisas:
- Independência Linear: Nenum dos vetores pode ser escrito como múltiplo do outro.
- Geração do Espaço: Os vetores devem ser suficientes para formar qualquer vetor no
.
Passo 4
A condição dada é que
, ou seja,
não está na reta determinada por
. Isso implica que não existe um escalar
tal que
. Portanto, os vetores são linearmente independentes.
Passo 5
Como temos dois vetores linearmente independentes no
, eles também geram o espaço inteiro. Ou seja, qualquer vetor em
pode ser escrito como uma combinação linear desses dois vetores.
Resposta
A afirmação é verdadeira. O conjunto
forma uma base do
quando
não está na reta determinada por
, garantindo independência linear e geração do espaço.