Verifique se as afirmações a seguir são verdadeiras ou falsas. Justifique.
(2,3),(x, y) é base do R^2 quando (x, y) notin[(2,3)]

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: temos o conjunto (2,3),(x, y) e queremos verificar se ele é uma base do R^2, dado que (x, y) não pertence à reta definida por (2,3). Para resolver isso, precisamos entender os conceitos de base, independência linear e geração de espaço vetorial no contexto da Álgebra Linear.

Passo 2

Primeiro, uma base de um espaço vetorial, como o R^2, é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. Isso significa que qualquer vetor no espaço pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores.

Passo 3

Para verificar se (2,3),(x, y) é uma base, precisamos garantir duas coisas:
  1. Independência Linear: Nenum dos vetores pode ser escrito como múltiplo do outro.
  2. Geração do Espaço: Os vetores devem ser suficientes para formar qualquer vetor no R^2.

Passo 4

A condição dada é que (x, y) notin [(2,3)], ou seja, (x, y) não está na reta determinada por (2,3). Isso implica que não existe um escalar k tal que (x, y) = k(2,3). Portanto, os vetores são linearmente independentes.

Passo 5

Como temos dois vetores linearmente independentes no R^2, eles também geram o espaço inteiro. Ou seja, qualquer vetor em R^2 pode ser escrito como uma combinação linear desses dois vetores.

Resposta

A afirmação é verdadeira. O conjunto (2,3),(x, y) forma uma base do R^2 quando (x, y) não está na reta determinada por (2,3), garantindo independência linear e geração do espaço.

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