Verifique se as afirmações a seguir são verdadeiras ou falsas. Justifique.
é base do quando

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: temos o conjunto e queremos verificar se ele é uma base do , dado que não pertence à reta definida por . Para resolver isso, precisamos entender os conceitos de base, independência linear e geração de espaço vetorial no contexto da Álgebra Linear.

Passo 2

Primeiro, uma base de um espaço vetorial, como o , é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. Isso significa que qualquer vetor no espaço pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores.

Passo 3

Para verificar se é uma base, precisamos garantir duas coisas:
  1. Independência Linear: Nenum dos vetores pode ser escrito como múltiplo do outro.
  2. Geração do Espaço: Os vetores devem ser suficientes para formar qualquer vetor no .

Passo 4

A condição dada é que , ou seja, não está na reta determinada por . Isso implica que não existe um escalar tal que . Portanto, os vetores são linearmente independentes.

Passo 5

Como temos dois vetores linearmente independentes no , eles também geram o espaço inteiro. Ou seja, qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear desses dois vetores.

Resposta

A afirmação é verdadeira. O conjunto forma uma base do quando não está na reta determinada por , garantindo independência linear e geração do espaço.

Exercícios relacionados

Nos ítens abaixo, o vetor está escrito na base . Reescreva-o na base V
(a) ;
a) Determine .
Mostre que nem todo subgrupo é subanel.
Seja a transformação linear definida por
Determine a representação matricial de em relação as bases ordenadas
de .