Nos itens abaixo, você deve:
  • Eliminar o parâmetro das equações paramétricas (quando possível);
  • Esboçar as curvas no plano cartesiano;
  • Indicar com uma seta a direção em que a curva é traçada quando o parâmetro aumenta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um par de equações paramétricas que relacionam e com o parâmetro . O que precisamos fazer é:
  1. Eliminar o parâmetro: Isso significa escrever diretamente em função de , sem o .
  2. Esboçar as curvas no plano cartesiano: Vamos desenhar o gráfico dessa relação entre e .
  3. Indicar a direção da curva: Vamos mostrar com uma seta para onde a curva está indo conforme aumenta.
Para isso, vamos precisar usar um pouco de álgebra para remover o das equações e entender como e se relacionam.

Passo 2

Primeiro, vamos eliminar o parâmetro das equações. Temos:
Para eliminar , vamos resolver a primeira equação para :
Agora, substituímos esse valor de na segunda equação:
Simplificando:
Então, a equação sem o parâmetro é:

Passo 3

Agora, vamos esboçar a curva no plano cartesiano. A equação é uma parábola que abre para cima, pois o coeficiente de é positivo.
Para desenhar a parábola:
  1. Vértice: O ponto mais baixo da parábola está em .
  2. Tabela de valores: Podemos calcular alguns pontos substituindo valores de :
Plotando esses pontos e desenhando a curva da parábola, temos o esboço da curva no plano cartesiano.

Passo 4

Por fim, vamos indicar a direção em que a curva é traçada quando aumenta. Observando as equações paramétricas:
Conforme aumenta:
  • Quando aumenta, também aumenta.
  • Simultaneamente, também aumenta porque cresce.
Então, à medida que aumenta, nos movemos da esquerda para a direita na parábola, subindo de para valores maiores de .
Vamos então desenhar uma seta na parábola apontando para cima à direita, indicando essa direção de crescimento conforme aumenta.

Resposta

A equação eliminando o parâmetro é . A curva é uma parábola que abre para cima, esboçada no plano cartesiano com vértice em . A direção da curva segue da esquerda para a direita, indicando que conforme aumenta, e aumentam.

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(12)
Se para todo , determine .
Nos itens abaixo, você deve:
  • Eliminar o parâmetro das equações paramétricas (quando possível);
  • Esboçar as curvas no plano cartesiano;
  • Indicar com uma seta a direção em que a curva é traçada quando o parâmetro aumenta.
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Qual é a carga inicial do capacitor?