Nos itens abaixo, você deve:
- Eliminar o parâmetro das equações paramétricas (quando possível);
- Esboçar as curvas no plano cartesiano;
- Indicar com uma seta a direção em que a curva é traçada quando o parâmetro
aumenta.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um par de equações paramétricas que relacionam
e
com o parâmetro
. O que precisamos fazer é:
- Eliminar o parâmetro: Isso significa escrever
diretamente em função de , sem o . - Esboçar as curvas no plano cartesiano: Vamos desenhar o gráfico dessa relação entre
e . - Indicar a direção da curva: Vamos mostrar com uma seta para onde a curva está indo conforme
aumenta.
Para isso, vamos precisar usar um pouco de álgebra para remover o
das equações e entender como
e
se relacionam.
Passo 2
Primeiro, vamos eliminar o parâmetro
das equações. Temos:
Para eliminar
, vamos resolver a primeira equação para
:
Agora, substituímos esse valor de
na segunda equação:
Simplificando:
Então, a equação sem o parâmetro
é:
Passo 3
Agora, vamos esboçar a curva no plano cartesiano. A equação
é uma parábola que abre para cima, pois o coeficiente de
é positivo.
Para desenhar a parábola:
- Vértice: O ponto mais baixo da parábola está em
. - Tabela de valores: Podemos calcular alguns pontos substituindo valores de
:
Plotando esses pontos e desenhando a curva da parábola, temos o esboço da curva no plano cartesiano.
Passo 4
Por fim, vamos indicar a direção em que a curva é traçada quando
aumenta. Observando as equações paramétricas:
Conforme
aumenta:
- Quando
aumenta, também aumenta. - Simultaneamente,
também aumenta porque cresce.
Então, à medida que
aumenta, nos movemos da esquerda para a direita na parábola, subindo de
para valores maiores de
.
Vamos então desenhar uma seta na parábola apontando para cima à direita, indicando essa direção de crescimento conforme
aumenta.
Resposta
A equação eliminando o parâmetro é
. A curva é uma parábola que abre para cima, esboçada no plano cartesiano com vértice em
. A direção da curva segue da esquerda para a direita, indicando que conforme
aumenta,
e
aumentam.
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(12)
(12)
Se
para todo
, determine
.
Nos itens abaixo, você deve:
- Eliminar o parâmetro das equações paramétricas (quando possível);
- Esboçar as curvas no plano cartesiano;
- Indicar com uma seta a direção em que a curva é traçada quando o parâmetro
aumenta.
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