Se para todo , determine .

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma função que está ligada à função logarítmica através da desigualdade para todo . A pergunta é: qual é o limite de quando se aproxima de 1? Vamos precisar entender limites e desigualdades para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a desigualdade dada: . Isso significa que a diferença entre e 3 é no máximo duas vezes o valor absoluto de . Em termos de limites, queremos ver o que acontece com quando se aproxima de 1.

Passo 3

Sabemos que , então vamos ver o que acontece com quando se aproxima de 1. Calculando o limite:

Passo 4

Agora, voltando à desigualdade , já vimos que à medida que se aproxima de 1, o lado direito da desigualdade tende a 0. Então, temos:

Passo 5

Se o valor absoluto de é menor ou igual a zero, isso só pode acontecer se . Portanto:

Passo 6

Isso significa que, quando se aproxima de 1, se aproxima de 3. Portanto, o limite de quando tende a 1 é 3.

Resposta

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traçando o gráfico da função
Calcular para
Calcule os limites abaixo. Caso seja necessário calcule os limites laterais:
(12)
Nos itens abaixo, você deve:
  • Eliminar o parâmetro das equações paramétricas (quando possível);
  • Esboçar as curvas no plano cartesiano;
  • Indicar com uma seta a direção em que a curva é traçada quando o parâmetro aumenta.