Se |f(x)-3| <= 2|ln x| para todo 0, determine lim x 1 f(x).

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma função que está ligada à função logarítmica através da desigualdade para todo . A pergunta é: qual é o limite de quando se aproxima de 1? Vamos precisar entender limites e desigualdades para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a desigualdade dada: . Isso significa que a diferença entre e 3 é no máximo duas vezes o valor absoluto de . Em termos de limites, queremos ver o que acontece com quando se aproxima de 1.

Passo 3

Sabemos que limx to 1 2|ln x| = 2|ln 1| = 2 times 0 = 0 , então vamos ver o que acontece com quando se aproxima de 1. Calculando o limite:

Passo 4

Agora, voltando à desigualdade |f(x) - 3| <= 0 , já vimos que à medida que se aproxima de 1, o lado direito da desigualdade tende a 0. Então, temos:

Passo 5

Se o valor absoluto de f(x) - 3 = 0 implies f(x) = 3 é menor ou igual a zero, isso só pode acontecer se . Portanto:

Passo 6

Isso significa que, quando se aproxima de 1, se aproxima de 3. Portanto, o limite de quando tende a 1 é 3.

Resposta

limx 1 f(x) = 3

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