Nos itens (a) até ( e ), encontre as derivadas parciais indicadas: z=ln [sen(x+araizy)] ; partial zpartial y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada parcial de z = ln[sen(x + araizy)] em relação a . O enunciado nos dá a função:
Aqui, estamos trabalhando com cálculo de derivadas parciais, especificamente aplicando a regra da cadeia para funções compostas. Precisaremos lembrar das derivadas de funções logarítmicas, trigonométricas e das regras para derivar expressões envolvendo raízes e potências.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função que compõem z = ln(u), onde u = sen(v), e v = x + araizy . Podemos ver que é uma função composta:
Isso significa que vamos precisar aplicar a regra da cadeia múltiplas vezes para calcular a derivada parcial de em relação a .

Passo 3

Vamos começar calculando a derivada de partial zpartial u = ddu ln(u) = 1u em relação a :
Essa é a derivada da função logarítmica natural.

Passo 4

Agora, derivamos partial upartial v = ddv sen(v) = cos(v) em relação a :
Aqui usamos a derivada da função seno.

Passo 5

Em seguida, derivamos partial vpartial y = ddy ( x + araizy ) = (x + a) cdot ddy ( y^-1/2 ) = (x + a) ( -12 y^-3/2 ) = -x + a2 y^3/2 em relação a :
Aqui aplicamos a regra da potência para derivar .

Passo 6

Agora, aplicamos a regra da cadeia para encontrar a derivada parcial de partial zpartial y = partial zpartial u cdot partial upartial v cdot partial vpartial y = 1u cdot cos(v) cdot ( -x + a2 y^3/2 ) em relação a :
Substituímos as derivadas que calculamos nos passos anteriores.

Passo 7

Substituímos u = sen( x + araizy ), v = x + araizy e partial zpartial y = 1sen( x + araizy ) cdot cos( x + araizy ) cdot ( -x + a2 y^3/2 ) de volta nas expressões:
Então,

Passo 8

Simplificamos a expressão utilizando a identidade trigonométrica :
partial zpartial y = cot( x + araizy ) cdot ( -x + a2 y^3/2 ) = -(x + a) cot( x + araizy )2 y^3/2

Resposta

A derivada parcial de partial zpartial y = -(x + a) cot( x + araizy )2 y^3/2 em relação a é:

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