Nos itens (a) até (
), encontre as derivadas parciais indicadas:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a derivada parcial de
em relação a
. O enunciado nos dá a função:
Aqui, estamos trabalhando com cálculo de derivadas parciais, especificamente aplicando a regra da cadeia para funções compostas. Precisaremos lembrar das derivadas de funções logarítmicas, trigonométricas e das regras para derivar expressões envolvendo raízes e potências.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da função que compõem
. Podemos ver que
é uma função composta:
Isso significa que vamos precisar aplicar a regra da cadeia múltiplas vezes para calcular a derivada parcial de
em relação a
.
Passo 3
Vamos começar calculando a derivada de
em relação a
:
Essa é a derivada da função logarítmica natural.
Passo 4
Agora, derivamos
em relação a
:
Aqui usamos a derivada da função seno.
Passo 5
Em seguida, derivamos
em relação a
:
Aqui aplicamos a regra da potência para derivar
.
Passo 6
Agora, aplicamos a regra da cadeia para encontrar a derivada parcial de
em relação a
:
Substituímos as derivadas que calculamos nos passos anteriores.
Passo 7
Substituímos
e
de volta nas expressões:
Então,
Passo 8
Simplificamos a expressão utilizando a identidade trigonométrica :
Resposta
A derivada parcial de
em relação a
é:
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Encontre o domínio da função.
(f)
(f)
12
Encontre o domínio da função.
(a)
Encontre o domínio da função.
(a)
Nos itens de (a) até ©, mostre que: Se
, então:
(2)
. Encontrar:
e
.