Nos itens (a) até ( ), encontre as derivadas parciais indicadas: .

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada parcial de em relação a . O enunciado nos dá a função:
Aqui, estamos trabalhando com cálculo de derivadas parciais, especificamente aplicando a regra da cadeia para funções compostas. Precisaremos lembrar das derivadas de funções logarítmicas, trigonométricas e das regras para derivar expressões envolvendo raízes e potências.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função que compõem . Podemos ver que é uma função composta:
Isso significa que vamos precisar aplicar a regra da cadeia múltiplas vezes para calcular a derivada parcial de em relação a .

Passo 3

Vamos começar calculando a derivada de em relação a :
Essa é a derivada da função logarítmica natural.

Passo 4

Agora, derivamos em relação a :
Aqui usamos a derivada da função seno.

Passo 5

Em seguida, derivamos em relação a :
Aqui aplicamos a regra da potência para derivar .

Passo 6

Agora, aplicamos a regra da cadeia para encontrar a derivada parcial de em relação a :
Substituímos as derivadas que calculamos nos passos anteriores.

Passo 7

Substituímos e de volta nas expressões:
Então,

Passo 8

Simplificamos a expressão utilizando a identidade trigonométrica :

Resposta

A derivada parcial de em relação a é:

Exercícios relacionados

Encontre o domínio da função.
(f)
12
Encontre o domínio da função.
(a)
Nos itens de (a) até ©, mostre que: Se , então:
(2) . Encontrar: e .