Repita o argumento do exercício anterior para as funções abaixo. Neste caso, você encontrará 3 raízes para a equação f(x)=g(x), digamos a. A área agora será calculada como a soma de duas integrais, uma do tipo integrala^b e outra do tipo integralb^c. Em cada uma delas, você deve integrar a função que está por cima, menos a que está por baixo no intervalo de integração.
f(x)=x^3-x+1, g(x)=1;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente calcular a área entre as funções e . Isso faz parte do estudo de Cálculo Integral, onde a gente usa integrais para encontrar áreas entre curvas. Para resolver, vamos precisar achar onde essas duas funções se cruzam, ou seja, os pontos onde . Depois, vamos integrar nessas áreas específicas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos onde x^3 - x + 1 = 1 implies x^3 - x = 0 . Isso significa resolver a equação x(x^2 - 1) = 0 implies x(x - 1)(x + 1) = 0 . Simplificando:
Agora, fatorando:
Então, as raízes são , e . Vamos chamar essas raízes de , e , onde .

Passo 3

Agora que temos os pontos de interseção , e , vamos dividir o intervalo em duas partes: de a e de a . Isso porque a função que está por cima muda nesses intervalos.

Passo 4

Precisamos saber qual função está acima da outra em cada intervalo para saber como configurar a integral. Para isso, vamos escolher um ponto em cada intervalo e ver qual função tem o valor maior.
  • Entre f(-0.5) = (-0.5)^3 - (-0.5) + 1 = -0.125 + 0.5 + 1 = 1.375 e g(-0.5) = 1 , vamos escolher f(0.5) = (0.5)^3 - 0.5 + 1 = 0.125 - 0.5 + 1 = 0.625 :
g(0.5) = 1
Como , está acima de nesse intervalo.
  • Entre e , vamos escolher :
Aqui, , então está acima de nesse intervalo.

Passo 5

Agora que sabemos qual função está acima em cada intervalo, podemos montar as integrais para calcular a área. A fórmula para a área entre duas curvas é:
Área = integrala^b (f(x) - g(x)) , dx + integralb^c (g(x) - f(x)) , dx Á
Substituindo os limites e as funções:
Área = integral-1^0 ( x^3 - x + 1 - 1 ) , dx + integral0^1 ( 1 - (x^3 - x + 1) ) , dx Á

Passo 6

Vamos simplificar as integrais:
Para o primeiro intervalo:
integral-1^0 (x^3 - x) , dx
A integral de [ x^44 - x^22 ]-1^0 = ( 0 - 0 ) - ( (-1)^44 - (-1)^22 ) = 0 - ( 14 - 12 ) = 0 - ( -14 ) = 14 é integral0^1 ( 1 - x^3 + x - 1 ) , dx = integral0^1 (-x^3 + x) , dx e a de [ -x^44 + x^22 ]0^1 = ( -14 + 12 ) - (0 + 0) = 14 é . Então:
Para o segundo intervalo:
A integral de é e a de é . Então:

Passo 7

Agora, somamos as duas áreas encontradas:
Área total = 14 + 14 = 12 Á

Resposta

A área entre as funções e no intervalo considerado é unidades de área.

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