Nos itens a seguir, determine a área da região indicada:
(b) a região limitada pelas curvas y = 8 / x e y = x^(1/2) e pelas retas y = 0 e x = 8.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de área. A gente precisa encontrar a área da região limitada pelas curvas e , além das retas e . Para isso, vamos usar técnicas de integração, que é uma ferramenta fundamental em cálculo para calcular áreas sob curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender onde essas curvas se intersectam para saber os limites de integração. Precisamos resolver a equação .

Passo 3

Resolvendo , multiplicamos ambos os lados por para eliminar o denominador:
Sabemos que , então:
Agora, elevamos ambos os lados à potência :
Então, as curvas se intersectam quando .

Passo 4

Agora, vamos determinar qual curva está acima da outra no intervalo de a . Testando um valor entre 4 e 8, por exemplo, :
Como está acima de nesse intervalo, sabemos que a região está entre essas duas curvas de a , mas precisamos considerar os limites até , onde elas se cruzam.

Passo 5

Vamos dividir a área em duas partes:
  1. De a , onde está acima de .
  2. De a , onde está acima de .

Passo 6

A fórmula para a área entre duas curvas é:
Áçãçã

Passo 7

Calculando a primeira parte da área, de a :
Á
Nota: Como tende ao infinito quando se aproxima de 0, na prática, precisamos considerar um limite, mas para simplificação, assumiremos que a região começa um pouco acima de .

Passo 8

Calculando a segunda parte da área, de a :
Á

Passo 9

Agora, vamos resolver as integrais:
Para Á:
Então:
Á
Para Á:
Então:
Á

Passo 10

Calculando Á de a :
Á
Como é indefinido, isso indica que a área tende ao infinito. Portanto, a região de a é infinita.

Passo 11

No entanto, considerando que é o limite inferior, a área real finita está entre e :
ÁÁ

Passo 12

Calculando os valores:
Então:
Á
Á
Á
Á

Resposta

A área da região indicada é aproximadamente 4,21 unidades de área.

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