Nos itens a seguir, determine a área da região indicada:
(b) a região limitada pelas curvas
e
e pelas retas
e
.
(b) a região limitada pelas curvas
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de área. A gente precisa encontrar a área da região limitada pelas curvas
e
, além das retas
e
. Para isso, vamos usar técnicas de integração, que é uma ferramenta fundamental em cálculo para calcular áreas sob curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender onde essas curvas se intersectam para saber os limites de integração. Precisamos resolver a equação
.
Passo 3
Resolvendo
, multiplicamos ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Sabemos que
, então:
Agora, elevamos ambos os lados à potência
:
Então, as curvas se intersectam quando
.
Passo 4
Agora, vamos determinar qual curva está acima da outra no intervalo de
a
. Testando um valor entre 4 e 8, por exemplo,
:
Como
está acima de
nesse intervalo, sabemos que a região está entre essas duas curvas de
a
, mas precisamos considerar os limites até
, onde elas se cruzam.
Passo 5
Vamos dividir a área em duas partes:
- De
a , onde está acima de . - De
a , onde está acima de .
Passo 6
A fórmula para a área entre duas curvas é:
Passo 7
Calculando a primeira parte da área, de
a
:
Nota: Como
tende ao infinito quando
se aproxima de 0, na prática, precisamos considerar um limite, mas para simplificação, assumiremos que a região começa um pouco acima de
.
Passo 8
Calculando a segunda parte da área, de
a
:
Passo 9
Agora, vamos resolver as integrais:
Para
:
Então:
Para
:
Então:
Passo 10
Calculando
de
a
:
Como
é indefinido, isso indica que a área tende ao infinito. Portanto, a região de
a
é infinita.
Passo 11
No entanto, considerando que
é o limite inferior, a área real finita está entre
e
:
Passo 12
Calculando os valores:
Então:
Resposta
A área da região indicada é aproximadamente 4,21 unidades de área.