Nos itens a seguir, determine a área da região indicada:
(a) a região limitada pela curva y = 2 + x - x^2 e o eixo O x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da região limitada pela curva e o eixo . Isso envolve entender um pouco de cálculo, especialmente integração, para calcular áreas entre curvas e eixos.

Passo 2

Primeiro, vamos achar onde a curva cruza o eixo . Para isso, colocamos e resolvemos a equação:
Reorganizando, fica:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática. Podemos fatorar ou usar a fórmula de Bhaskara. Vamos usar a fórmula:
Aqui, , e . Substituindo:
Então, as soluções são:

Passo 4

Agora que sabemos que a curva cruza o eixo nos pontos e , vamos calcular a área entre esses dois pontos. A fórmula para a área é a integral da função em relação a , entre esses limites:

Passo 5

Vamos calcular essa integral. Primeiro, integramos cada termo separadamente:
Agora, avaliamos essa antiderivada nos limites de -1 a 2:

Passo 6

Vamos calcular para :
E para :

Passo 7

Agora, subtraímos o valor em do valor em :

Resposta

A área da região limitada pela curva e o eixo é unidades de área.

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