Nos itens a seguir, determine a área da região indicada:
(a) a região limitada pela curva
e o eixo
.
(a) a região limitada pela curva
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da região limitada pela curva
e o eixo
. Isso envolve entender um pouco de cálculo, especialmente integração, para calcular áreas entre curvas e eixos.
Passo 2
Primeiro, vamos achar onde a curva
cruza o eixo
. Para isso, colocamos
e resolvemos a equação:
Reorganizando, fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática. Podemos fatorar ou usar a fórmula de Bhaskara. Vamos usar a fórmula:
Aqui,
,
e
. Substituindo:
Então, as soluções são:
Passo 4
Agora que sabemos que a curva cruza o eixo
nos pontos
e
, vamos calcular a área entre esses dois pontos. A fórmula para a área
é a integral da função
em relação a
, entre esses limites:
Passo 5
Vamos calcular essa integral. Primeiro, integramos cada termo separadamente:
Agora, avaliamos essa antiderivada nos limites de -1 a 2:
Passo 6
Vamos calcular para
:
E para
:
Passo 7
Agora, subtraímos o valor em
do valor em
:
Resposta
A área da região limitada pela curva
e o eixo
é
unidades de área.