Um pesquisador estima que horas depois da meia-noite, em um período típico de 24 horas, a temperatura em certa cidade é dada por
graus Celsius. Qual é a temperatura média na cidade entre 6 da manhã e 4 da tarde?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que a temperatura numa cidade varia com o tempo, dado pela função , onde é o tempo em horas após a meia-noite, num período de 24 horas. Queremos descobrir qual é a temperatura média entre 6 da manhã () e 4 da tarde (). Para resolver isso, vamos usar cálculo integral para encontrar a média da função no intervalo especificado.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula para calcular a temperatura média de uma função entre dois pontos e :
Aqui, representa a área sob a curva da função entre e .
Passo 3
Agora, vamos substituir os valores que temos na fórmula. Nosso intervalo é de horas até horas, e a função já está dada. Então, a fórmula fica assim:
Passo 4
Vamos calcular a integral . Isso significa que precisamos integrar cada termo da função separadamente.
A integral de 3 em relação a é .
A integral de em relação a é .
Então, a integral completa fica:
Passo 5
Vamos agora avaliar a integral nos limites de 6 a 16 horas.
Para :
Para :
Agora, subtraímos o valor em do valor em :
Passo 6
Finalmente, vamos calcular a temperatura média dividindo o valor da integral pelo intervalo de tempo, que é horas:
é
Resposta
A temperatura média na cidade entre 6 da manhã e 4 da tarde é aproximadamente graus Celsius.