Um pesquisador estima que t horas depois da meia-noite, em um período típico de 24 horas, a temperatura em certa cidade é dada por
C(t) = 3 - 2/3*(t - 13)^(2), 0 <= t <= 24
graus Celsius. Qual é a temperatura média na cidade entre 6 da manhã e 4 da tarde?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que a temperatura numa cidade varia com o tempo, dado pela função , onde é o tempo em horas após a meia-noite, num período de 24 horas. Queremos descobrir qual é a temperatura média entre 6 da manhã ( ) e 4 da tarde ( ). Para resolver isso, vamos usar cálculo integral para encontrar a média da função no intervalo especificado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula para calcular a temperatura média de uma função entre dois pontos e :
é
Aqui, representa a área sob a curva da função entre e .

Passo 3

Agora, vamos substituir os valores que temos na fórmula. Nosso intervalo é de horas até horas, e a função já está dada. Então, a fórmula fica assim:
é

Passo 4

Vamos calcular a integral . Isso significa que precisamos integrar cada termo da função separadamente.
  1. A integral de 3 em relação a é .
  2. A integral de em relação a é .
Então, a integral completa fica:

Passo 5

Vamos agora avaliar a integral nos limites de 6 a 16 horas.
Para :
Para :
Agora, subtraímos o valor em do valor em :

Passo 6

Finalmente, vamos calcular a temperatura média dividindo o valor da integral pelo intervalo de tempo, que é horas:
é

Resposta

A temperatura média na cidade entre 6 da manhã e 4 da tarde é aproximadamente graus Celsius.

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