Nos itens a seguir, determine se o conjunto dado com as operações especificadas de adição e de multiplicação por escalar é um espaço vetorial.
O conjunto de todos os vetores em
com
.
O conjunto de todos os vetores em
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Estamos trabalhando com espaços vetoriais, que é um conceito da álgebra linear. O exercício nos pede para verificar se um conjunto específico de vetores, juntamente com as operações de adição e multiplicação por escalar, forma ou não um espaço vetorial. O conjunto em questão é o de todos os vetores em
onde as coordenadas
e
são maiores ou iguais a zero, ou seja,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial precisa satisfazer oito axiomas, como fechamento sob adição e multiplicação por escalar, existência de elemento neutro, existência de inversos, etc. Vamos focar nos dois primeiros: fechamento sob adição e fechamento sob multiplicação por escalar.
Passo 3
Fechamento sob adição significa que se você pegar dois vetores do conjunto e somá-los, o resultado também deve estar no conjunto. Vamos testar isso:
Seja
e
dois vetores no conjunto, então
,
,
, e
. A soma deles é:
Como
e
, a soma
também pertence ao conjunto. Portanto, o conjunto é fechado sob adição.
Passo 4
Agora, vamos verificar o fechamento sob multiplicação por escalar. Isso significa que, se você multiplicar um vetor do conjunto por qualquer número real (escalar), o resultado também deve estar no conjunto. Vamos testar isso:
Seja
no conjunto, e seja
um escalar. A multiplicação por escalar é:
Para que
pertença ao conjunto, precisamos que
e
. No entanto, se escolhermos um escalar negativo, por exemplo,
, então:
Como
e
, isso resultaria em
e
, que não pertencem ao conjunto original onde
e
.
Resposta
Não, o conjunto de todos os vetores em
com
e
não é um espaço vetorial, pois não é fechado sob multiplicação por escalares negativos.