Nos itens a seguir, determine se o conjunto dado com as operações especificadas de adição e de multiplicação por escalar é um espaço vetorial.
O conjunto de todos os vetores em R^2 com x >= 0, y >= 0.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Estamos trabalhando com espaços vetoriais, que é um conceito da álgebra linear. O exercício nos pede para verificar se um conjunto específico de vetores, juntamente com as operações de adição e multiplicação por escalar, forma ou não um espaço vetorial. O conjunto em questão é o de todos os vetores em onde as coordenadas e são maiores ou iguais a zero, ou seja, e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial precisa satisfazer oito axiomas, como fechamento sob adição e multiplicação por escalar, existência de elemento neutro, existência de inversos, etc. Vamos focar nos dois primeiros: fechamento sob adição e fechamento sob multiplicação por escalar.

Passo 3

Fechamento sob adição significa que se você pegar dois vetores do conjunto e somá-los, o resultado também deve estar no conjunto. Vamos testar isso:
Seja u + v = (x1 + x2, y1 + y2) e dois vetores no conjunto, então , , , e . A soma deles é:
Como e , a soma também pertence ao conjunto. Portanto, o conjunto é fechado sob adição.

Passo 4

Agora, vamos verificar o fechamento sob multiplicação por escalar. Isso significa que, se você multiplicar um vetor do conjunto por qualquer número real (escalar), o resultado também deve estar no conjunto. Vamos testar isso:
Seja c cdot u = (c cdot x, c cdot y) no conjunto, e seja -1 cdot u = (-x, -y) um escalar. A multiplicação por escalar é:
Para que pertença ao conjunto, precisamos que e . No entanto, se escolhermos um escalar negativo, por exemplo, , então:
Como e , isso resultaria em e , que não pertencem ao conjunto original onde e .

Resposta

Não, o conjunto de todos os vetores em com e não é um espaço vetorial, pois não é fechado sob multiplicação por escalares negativos.

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