Sejam
e
. Calcule
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem duas funções vetoriais:
A tarefa é calcular o limite quando
se aproxima de 1 do produto vetorial desses dois vetores, ou seja:
Vamos usar conceitos de produto vetorial e limites para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o produto vetorial. O produto vetorial de dois vetores
e
é dado por:
Isso vai nos dar um novo vetor perpendicular aos dois originais.
Passo 3
Vamos aplicar isso aos nossos vetores
e
:
Vamos simplificar cada componente:
- Primeira componente:
- Segunda componente:
- Terceira componente:
Então, o produto vetorial fica:
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite de cada componente quando
se aproxima de 1:
- Primeiro componente:
- Segunda componente:
- Terceira componente:
Resposta
Então, o limite é:
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Seja
. Mostre que a curva definida por
é uma reta.
Nos itens a seguir, encontre as direções (vetores unitários) nas quais as funções aumentam e diminuem mais rapidamente no ponto
. Em seguida, encontre as derivadas direcionais das funções nessas direções.
Dadas as funções vetoriais
e
e a função escalar
, calcule:
.
(b) Lembrando que o div
mede a tendência de o fluido divergir do ponto
, dado o ponto
, determine o se o campo vetorial está espalhando, se concentrando ou é incompressível em
.