Sejam e . Calcule

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas funções vetoriais:
A tarefa é calcular o limite quando se aproxima de 1 do produto vetorial desses dois vetores, ou seja:
Vamos usar conceitos de produto vetorial e limites para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o produto vetorial. O produto vetorial de dois vetores e é dado por:
Isso vai nos dar um novo vetor perpendicular aos dois originais.

Passo 3

Vamos aplicar isso aos nossos vetores e :
Vamos simplificar cada componente:
  1. Primeira componente:
  1. Segunda componente:
  1. Terceira componente:
Então, o produto vetorial fica:

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite de cada componente quando se aproxima de 1:
  1. Primeiro componente:
  1. Segunda componente:
  1. Terceira componente:

Resposta

Então, o limite é:

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Seja . Mostre que a curva definida por é uma reta.
Nos itens a seguir, encontre as direções (vetores unitários) nas quais as funções aumentam e diminuem mais rapidamente no ponto . Em seguida, encontre as derivadas direcionais das funções nessas direções.
Dadas as funções vetoriais e e a função escalar , calcule:
.
(b) Lembrando que o div mede a tendência de o fluido divergir do ponto , dado o ponto , determine o se o campo vetorial está espalhando, se concentrando ou é incompressível em .