Sejam F(t)=lang<= t, 2 t^2, 3 t^3rang<= e G(t)=lang<= 2 t, 1,-3 t^2rang<=. Calcule
lim t 1[F(t) times G(t)]

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas funções vetoriais:
F(t) = lang<= t, 2t^2, 3t^3 rang<=
G(t) = lang<= 2t, 1, -3t^2 rang<=
A tarefa é calcular o limite quando lim t 1[F(t) times G(t)] se aproxima de 1 do produto vetorial desses dois vetores, ou seja:
Vamos usar conceitos de produto vetorial e limites para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o produto vetorial. O produto vetorial de dois vetores A times B = lang<= a2b3 - a3b2, , a3b1 - a1b3, , a1b2 - a2b1 rang<= e é dado por:
Isso vai nos dar um novo vetor perpendicular aos dois originais.

Passo 3

Vamos aplicar isso aos nossos vetores F(t) times G(t) = lang<= 2t^2 cdot (-3t^2) - 3t^3 cdot 1, , 3t^3 cdot 2t - t cdot (-3t^2), , t cdot 1 - 2t^2 cdot 2t rang<= e 2t^2 cdot (-3t^2) - 3t^3 cdot 1 = -6t^4 - 3t^3 :
3t^3 cdot 2t - t cdot (-3t^2) = 6t^4 + 3t^3
Vamos simplificar cada componente:
  1. Primeira componente:
t cdot 1 - 2t^2 cdot 2t = t - 4t^3
  1. Segunda componente:
F(t) times G(t) = lang<= -6t^4 - 3t^3, , 6t^4 + 3t^3, , t - 4t^3 rang<=
  1. Terceira componente:
Então, o produto vetorial fica:

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite de cada componente quando limt to 1 (-6t^4 - 3t^3) = -6(1)^4 - 3(1)^3 = -6 - 3 = -9 se aproxima de 1:
  1. Primeiro componente:
limt to 1 (6t^4 + 3t^3) = 6(1)^4 + 3(1)^3 = 6 + 3 = 9
  1. Segunda componente:
limt to 1 (t - 4t^3) = 1 - 4(1)^3 = 1 - 4 = -3
  1. Terceira componente:

Resposta

Então, o limite é:
lim t 1[F(t) times G(t)] = lang<= -9, , 9, , -3 rang<=

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