Seja
. Mostre que a curva definida por
é uma reta.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função vetorial
, onde
é um número real. O objetivo é mostrar que essa curva é uma reta. Para isso, vamos precisar conhecer conceitos de geometria vetorial, especialmente a forma paramétrica de uma reta no espaço.
Passo 2
Uma reta no espaço tridimensional pode ser representada por uma equação vetorial da forma
, onde
é um ponto inicial na reta e
é um vetor diretor da reta. Nosso objetivo é reescrever
nessa forma.
Passo 3
Vamos decompor
:
Aqui,
é o ponto inicial
e
é o vetor diretor
.
Passo 4
Como conseguimos escrever
na forma
, isso confirma que a curva definida por
é de fato uma reta, pois segue a equação paramétrica de uma reta no espaço.
Resposta
A curva definida por
é uma reta no espaço tridimensional.
Exercícios relacionados
Nos itens a seguir, encontre as direções (vetores unitários) nas quais as funções aumentam e diminuem mais rapidamente no ponto
. Em seguida, encontre as derivadas direcionais das funções nessas direções.
Seja
. Encontre as direções
(com
unitário) e os valores
para os quais:
Sejam
e
. Calcule
Dadas as funções vetoriais
e
e a função escalar
, calcule:
.