Seja . Mostre que a curva definida por é uma reta.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função vetorial , onde é um número real. O objetivo é mostrar que essa curva é uma reta. Para isso, vamos precisar conhecer conceitos de geometria vetorial, especialmente a forma paramétrica de uma reta no espaço.

Passo 2

Uma reta no espaço tridimensional pode ser representada por uma equação vetorial da forma , onde é um ponto inicial na reta e é um vetor diretor da reta. Nosso objetivo é reescrever nessa forma.

Passo 3

Vamos decompor :
Aqui, é o ponto inicial e é o vetor diretor .

Passo 4

Como conseguimos escrever na forma , isso confirma que a curva definida por é de fato uma reta, pois segue a equação paramétrica de uma reta no espaço.

Resposta

A curva definida por é uma reta no espaço tridimensional.

Exercícios relacionados

Nos itens a seguir, encontre as direções (vetores unitários) nas quais as funções aumentam e diminuem mais rapidamente no ponto . Em seguida, encontre as derivadas direcionais das funções nessas direções.
Seja . Encontre as direções (com unitário) e os valores para os quais:
Sejam e . Calcule
Dadas as funções vetoriais e e a função escalar , calcule:
.