Nos itens a seguir resolva a equação dada por separação de variável.

Passo 1

Beleza, temos uma equação diferencial que precisa ser resolvida por separação de variáveis. A equação é:
E a condição inicial é .
Vamos usar a técnica de separação de variáveis, que nos ajuda a resolver equações onde podemos separar as variáveis e em lados opostos da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para separar e . Queremos colocar todos os termos com de um lado e os termos com do outro. Começamos dividindo ambos os lados por :

Passo 3

Agora que as variáveis estão separadas, vamos integrar ambos os lados da equação. A ideia é encontrar funções que, quando derivadas, nos dão de volta a equação original.
Integrando o lado esquerdo em relação a :
E integrando o lado direito em relação a :

Passo 4

Vamos resolver cada integral separadamente.
Para a integral do lado esquerdo, lembramos que a integral de é . Então:
Onde é a constante de integração.
Para a integral do lado direito:
Mas como estamos lidando com uma equação, podemos combinar as constantes em uma única constante. Então, temos:

Passo 5

Agora, vamos resolver para usando a condição inicial . Primeiro, rearranjamos a equação para isolar :
Onde .
Aplicando a condição inicial:
Sabemos que , então:
Resolvendo para :

Resposta

Substituindo na equação, temos:
Então, resolvendo para :
Portanto, a solução da equação diferencial é:

Exercícios relacionados

Simplifique as seguintes expressões:
2
Sejam os conjuntos e determine, caso possível (caso não seja possível justifique) os conjuntos complementares de e em relação a:
(a)
Sejam os conjuntos e determine, caso possível (caso não seja possível justifique) os conjuntos complementares de e em relação a:
(f)
Nos itens a seguir resolva a equação dada por separação de variável.