Nos itens a seguir resolva a equação dada por separação de variável.
Passo 1
Beleza, temos uma equação diferencial que precisa ser resolvida por separação de variáveis. A equação é:
E a condição inicial é
.
Vamos usar a técnica de separação de variáveis, que nos ajuda a resolver equações onde podemos separar as variáveis
e
em lados opostos da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para separar
e
. Queremos colocar todos os termos com
de um lado e os termos com
do outro. Começamos dividindo ambos os lados por
:
Passo 3
Agora que as variáveis estão separadas, vamos integrar ambos os lados da equação. A ideia é encontrar funções que, quando derivadas, nos dão de volta a equação original.
Integrando o lado esquerdo em relação a
:
E integrando o lado direito em relação a
:
Passo 4
Vamos resolver cada integral separadamente.
Para a integral do lado esquerdo, lembramos que a integral de
é
. Então:
Onde
é a constante de integração.
Para a integral do lado direito:
Mas como estamos lidando com uma equação, podemos combinar as constantes em uma única constante. Então, temos:
Passo 5
Agora, vamos resolver para
usando a condição inicial
. Primeiro, rearranjamos a equação para isolar
:
Onde
.
Aplicando a condição inicial:
Sabemos que
, então:
Resolvendo para
:
Resposta
Substituindo
na equação, temos:
Então, resolvendo para
:
Portanto, a solução da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Simplifique as seguintes expressões:
2
Sejam os conjuntos
e
determine, caso possível (caso não seja possível justifique) os conjuntos complementares de
e
em relação a:
(a)
2
Sejam os conjuntos
(a)
Sejam os conjuntos
e
determine, caso possível (caso não seja possível justifique) os conjuntos complementares de
e
em relação a:
(f)
(f)
Nos itens a seguir resolva a equação dada por separação de variável.