Nos itens a seguir resolva a equação dada por separação de variável.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que a gente tem aqui:
O que isso significa? A gente tem uma equação que relaciona a derivada de em relação a com a própria função . Nosso objetivo é encontrar a função que satisfaz essa equação e que atende à condição inicial . Para resolver, vamos usar um método chamado fator integrante, que é bem útil para esse tipo de equação linear de primeira ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
No nosso caso, temos:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante ( ). Esse fator é essencial porque, ao multiplicar a equação original por ele, a equação se torna mais fácil de resolver.
O fator integrante é dado por:
Substituindo :

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Isso fica assim:

Passo 5

Agora, olhe só: o lado esquerdo da equação é a derivada do produto . Ou seja:
Isso simplifica bastante a nossa vida!

Passo 6

Vamos integrar ambos os lados da equação para encontrar :
A integral do lado esquerdo é simplesmente e a do lado direito é:
Então, temos:

Passo 7

Agora, vamos resolver para . Basta dividir ambos os lados por :

Passo 8

Por fim, usamos a condição inicial para encontrar o valor de . Sabemos que , então:
Simplificando:
Subtraindo de ambos os lados:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

Exercícios relacionados

Sejam os conjuntos e determine, caso possível (caso não seja possível justifique) os conjuntos complementares de e em relação a:
(f)
Nos itens a seguir resolva a equação dada por separação de variável.
Para as expressões do tipo abaixo, determine a expressão :
(b)
Nos itens a seguir resolva a equação dada por separação de variável.