Nos itens a seguir resolva a equação dada por separação de variável.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que a gente tem aqui:
O que isso significa? A gente tem uma equação que relaciona a derivada de
em relação a
com a própria função
. Nosso objetivo é encontrar a função
que satisfaz essa equação e que atende à condição inicial
. Para resolver, vamos usar um método chamado fator integrante, que é bem útil para esse tipo de equação linear de primeira ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
No nosso caso, temos:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante (
). Esse fator é essencial porque, ao multiplicar a equação original por ele, a equação se torna mais fácil de resolver.
O fator integrante é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Isso fica assim:
Passo 5
Agora, olhe só: o lado esquerdo da equação é a derivada do produto
. Ou seja:
Isso simplifica bastante a nossa vida!
Passo 6
Vamos integrar ambos os lados da equação para encontrar
:
A integral do lado esquerdo é simplesmente
e a do lado direito é:
Então, temos:
Passo 7
Agora, vamos resolver para
. Basta dividir ambos os lados por
:
Passo 8
Por fim, usamos a condição inicial para encontrar o valor de
. Sabemos que
, então:
Simplificando:
Subtraindo
de ambos os lados:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Sejam os conjuntos
e
determine, caso possível (caso não seja possível justifique) os conjuntos complementares de
e
em relação a:
(f)
(f)
Nos itens a seguir resolva a equação dada por separação de variável.
Para as expressões do tipo
abaixo, determine a expressão
:
(b)
(b)
Nos itens a seguir resolva a equação dada por separação de variável.