Nos itens a seguir resolva a equação dada por separação de variável.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial que precisa ser resolvida usando separação de variáveis. A equação dada é:
Isso significa que queremos encontrar uma função que satisfaz essa equação e a condição inicial fornecida.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de uma forma mais simples para aplicar a separação de variáveis. A equação original é:
Podemos fatorar o no lado direito:
Agora, isolamos :

Passo 3

Agora, vamos separar as variáveis e para lados opostos da equação. Queremos que todos os termos com fiquem de um lado e os termos com de outro lado. Assim:
Aqui, dividimos ambos os lados por e multiplicamos por para separar as variáveis.

Passo 4

Com as variáveis separadas, vamos integrar ambos os lados para encontrar em termos de . Integramos o lado esquerdo em relação a e o lado direito em relação a :
A integração do lado esquerdo é:
Agora, vamos resolver a integral do lado direito. Podemos dividir a fração:
Então, a integral fica:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Agora, juntamos os resultados das integrais:
Para resolver para , vamos eliminar o logaritmo aplicando a função exponencial nos dois lados:
Como e é apenas uma constante, podemos simplificar:
Onde é uma constante geral.
Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar o valor de :
Resolvendo para :

Resposta

A solução da equação diferencial é:
Ou de forma simplificada:

Exercícios relacionados

Determine os intervalos da reta real associados aos conjuntos:
(b)
Nos itens a seguir resolva a equação dada por separação de variável.
Sejam os conjuntos e , determine:
(d)
Sejam os conjuntos e determine, caso possível (caso não seja possível justifique) os conjuntos complementares de e em relação a:
(d)