Nos itens a seguir resolva a equação dada por separação de variável.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial que precisa ser resolvida usando separação de variáveis. A equação dada é:
Isso significa que queremos encontrar uma função
que satisfaz essa equação e a condição inicial fornecida.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de uma forma mais simples para aplicar a separação de variáveis. A equação original é:
Podemos fatorar o
no lado direito:
Agora, isolamos
:
Passo 3
Agora, vamos separar as variáveis
e
para lados opostos da equação. Queremos que todos os termos com
fiquem de um lado e os termos com
de outro lado. Assim:
Aqui, dividimos ambos os lados por
e multiplicamos por
para separar as variáveis.
Passo 4
Com as variáveis separadas, vamos integrar ambos os lados para encontrar
em termos de
. Integramos o lado esquerdo em relação a
e o lado direito em relação a
:
A integração do lado esquerdo é:
Agora, vamos resolver a integral do lado direito. Podemos dividir a fração:
Então, a integral fica:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Agora, juntamos os resultados das integrais:
Para resolver para
, vamos eliminar o logaritmo aplicando a função exponencial nos dois lados:
Como
e
é apenas uma constante, podemos simplificar:
Onde
é uma constante geral.
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar o valor de
:
Resolvendo para
:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
Ou de forma simplificada:
Exercícios relacionados
Determine os intervalos da reta real associados aos conjuntos:
(b)
(b)
Nos itens a seguir resolva a equação dada por separação de variável.
Sejam os conjuntos
e
, determine:
(d)
(d)
Sejam os conjuntos
e
determine, caso possível (caso não seja possível justifique) os conjuntos complementares de
e
em relação a:
(d)
(d)