Nos itens a seguir resolva a equação dada por separação de variável.

Passo 1

Ok, vamos lá! Temos uma equação diferencial que precisamos resolver usando separação de variáveis. A equação é:
Vamos precisar entender como separar as variáveis e para resolver essa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de uma forma mais clara. Sabemos que é a derivada de em relação a . Então, podemos escrever:

Passo 3

Agora, queremos separar as variáveis e . Para isso, vamos dividir ambos os lados da equação por e multiplicar por :

Passo 4

Vamos simplificar o denominador no lado esquerdo. Podemos fatorar :
Então, a equação fica:

Passo 5

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. Isso significa que precisamos calcular as integrais:
Para integrar o lado esquerdo, vamos fazer uma fração parcial:
Resolvendo para e , encontramos e . Então:

Passo 6

Agora, calculamos as integrais:
Podemos simplificar isso para:

Passo 7

Para resolver para , vamos eliminar os logaritmos exponenciando ambos os lados:
onde é uma constante.

Passo 8

Agora, resolvemos para :

Passo 9

Agora usamos a condição inicial para encontrar :

Passo 10

Substituindo de volta na expressão de :

Resposta

A solução da equação diferencial é:

Exercícios relacionados

Sejam os conjuntos e , determine:
(d)
Nos itens a seguir resolva a equação dada por separação de variável.
Determine os intervalos da reta real associados aos conjuntos:
(b)
Nos itens a seguir resolva a equação dada por separação de variável.