Nos itens a seguir resolva a equação dada por separação de variável.
Passo 1
Ok, vamos lá! Temos uma equação diferencial que precisamos resolver usando separação de variáveis. A equação é:
Vamos precisar entender como separar as variáveis
e
para resolver essa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de uma forma mais clara. Sabemos que
é a derivada de
em relação a
. Então, podemos escrever:
Passo 3
Agora, queremos separar as variáveis
e
. Para isso, vamos dividir ambos os lados da equação por
e multiplicar por
:
Passo 4
Vamos simplificar o denominador no lado esquerdo. Podemos fatorar
:
Então, a equação fica:
Passo 5
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. Isso significa que precisamos calcular as integrais:
Para integrar o lado esquerdo, vamos fazer uma fração parcial:
Resolvendo para
e
, encontramos
e
. Então:
Passo 6
Agora, calculamos as integrais:
Podemos simplificar isso para:
Passo 7
Para resolver para
, vamos eliminar os logaritmos exponenciando ambos os lados:
onde
é uma constante.
Passo 8
Agora, resolvemos para
:
Passo 9
Agora usamos a condição inicial
para encontrar
:
Passo 10
Substituindo
de volta na expressão de
:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Sejam os conjuntos
e
, determine:
(d)
(d)
Nos itens a seguir resolva a equação dada por separação de variável.
Determine os intervalos da reta real associados aos conjuntos:
(b)
(b)
Nos itens a seguir resolva a equação dada por separação de variável.