Sejam os conjuntos e determine, caso possível (caso não seja possível justifique) os conjuntos complementares de e em relação a:
(d)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre dois conjuntos, e , e pede para a gente encontrar os complementares deles em relação a uma expressão matemática específica:
Vamos precisar entender o que são conjuntos complementares e como trabalhar com expressões matemáticas envolvendo potências e radicais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os conjuntos e :
  • Conjunto :
    Isso significa que é o conjunto dos números inteiros cujo quadrado é menor que 10. Vamos encontrar esses números.
    Sabemos que:
    Então, .
  • Conjunto :
    Aqui, é o conjunto das raízes quadradas dos elementos de . Vamos calcular isso.
    Calculando para cada em :
    Porém, a raiz quadrada de números negativos não é um número real. Assim, os únicos valores válidos são , , e . Portanto,

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os complementares de e em relação à expressão dada:
Primeiro, vamos simplificar essa expressão para entender melhor o que ela representa.

Passo 4

Simplificando a expressão :
  1. Calculamos :
  2. Simplificamos permanece como está.
  3. Calculamos permanece como está.
  4. Simplificamos :
Agora, substituindo na expressão original:
Observe que aparece no numerador e denominador, então eles se cancelam:
Podemos também escrever como , então:

Passo 5

Agora que temos , vamos entender o que significa encontrar o complemento de um conjunto em relação a .
Os conjuntos complementares de e em relação a seriam todos os elementos que não estão em e , considerando que define o universo de elementos.
No entanto, e são conjuntos numéricos específicos, enquanto é um único número. Não faz sentido definir complementos de conjuntos inteiros em relação a um único número.

Passo 6

Portanto, não é possível determinar os conjuntos complementares de e em relação à expressão dada , já que a operação de complemento está definida em relação a um universo de elementos, e não a um único número.

Resposta

Não é possível determinar os complementares de e em relação à expressão , pois o complemento requer um universo de elementos, não apenas um número específico.

Exercícios relacionados

Sejam os conjuntos e , determine:
(d)
Nos itens a seguir resolva a equação dada por separação de variável.
Use o teste da integral para determinar se a série é convergente ou divergente:
Para as expressões do tipo abaixo, determine a expressão :
(a)