Nos itens a seguir resolva a equação dada por separação de variável.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma equação diferencial que precisa ser resolvida usando o método de separação de variáveis. Para isso, vamos precisar manipular a equação para separar os termos que envolvem dos que envolvem e, em seguida, integrar ambos os lados.

Passo 2

A equação dada é:
Primeiro, vamos rearranjar essa equação para isolar :
Aqui, representa a derivada de em relação a .

Passo 3

Agora, vamos separar as variáveis e . Para isso, colocamos todos os termos com de um lado e os termos com do outro:
Isso nos permite integrar cada lado separadamente.

Passo 4

Vamos integrar ambos os lados da equação. A integral do lado esquerdo pode ser resolvida usando frações parciais:
Sabemos que:
Aqui, , então:

Passo 5

Vamos resolver para . Primeiro, multiplicamos ambos os lados por 6:
Agora, aplicamos a exponencial em ambos os lados para eliminar o logaritmo:
onde é uma constante.

Passo 6

Isolamos na equação:
Distribuindo :
Reagrupando os termos com :
Finalmente, isolamos :

Passo 7

Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar o valor de . Substituindo e :
Isso implica que , portanto:

Passo 8

Substituindo na expressão de :

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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Para as expressões do tipo abaixo, determine a expressão :
(b)
Nos itens a seguir resolva a equação dada por separação de variável.
Sejam os conjuntos e , determine:
(d)
Nos itens a seguir resolva a equação dada por separação de variável.