Nos itens a seguir resolva a equação dada por separação de variável.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma equação diferencial que precisa ser resolvida usando o método de separação de variáveis. Para isso, vamos precisar manipular a equação para separar os termos que envolvem dos que envolvem e, em seguida, integrar ambos os lados.
Passo 2
A equação dada é:
Primeiro, vamos rearranjar essa equação para isolar :
Aqui, representa a derivada de em relação a .
Passo 3
Agora, vamos separar as variáveis e . Para isso, colocamos todos os termos com de um lado e os termos com do outro:
Isso nos permite integrar cada lado separadamente.
Passo 4
Vamos integrar ambos os lados da equação. A integral do lado esquerdo pode ser resolvida usando frações parciais:
Sabemos que:
Aqui, , então:
Passo 5
Vamos resolver para . Primeiro, multiplicamos ambos os lados por 6:
Agora, aplicamos a exponencial em ambos os lados para eliminar o logaritmo:
onde é uma constante.
Passo 6
Isolamos na equação:
Distribuindo :
Reagrupando os termos com :
Finalmente, isolamos :
Passo 7
Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar o valor de . Substituindo e :