Nos itens a seguir são apresentados um conjunto com as operações de adição e multiplicação por escalar nele definidas. Verifique s eles são espaços vetoriais. Para aquele que não for, citar os axiomas que não se verificam.
(b) * V=R^2 ;(a, b)+(c, d)=(a+b, 0) e a multiplicação escalar usual.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos o conjunto com duas operações: uma adição definida por e a multiplicação por escalar sendo a usual, ou seja, . Nosso objetivo aqui é verificar se esse conjunto com essas operações forma um espaço vetorial. Para isso, vamos precisar entender os axiomas que definem um espaço vetorial e ver se todos eles são satisfeitos.

Passo 2

Vamos começar lembrando o que é um espaço vetorial. Basicamente, um espaço vetorial é um conjunto acompanhado de duas operações (adição e multiplicação por escalar) que satisfazem certos axiomas, como a existência de um elemento neutro, a comutatividade da adição, a distribuição da multiplicação escalar sobre a adição, entre outros.

Passo 3

Primeiro, vamos verificar o axioma da adição. Para que (a, b) + (c, d) = (a + b, 0) seja um espaço vetorial, a adição precisa ser comutativa, ou seja, (c, d) + (a, b) = (c + d, 0) deve ser igual a (1, 2) + (3, 4) = (1 + 2, 0) = (3, 0) . Vamos testar isso:
(3, 4) + (1, 2) = (3 + 4, 0) = (7, 0)
Para que seja comutativa, precisamos que . Mas isso nem sempre é verdadeiro para todos os vetores e em . Por exemplo, se tivermos e , então:
Aqui, , então a adição não é comutativa.

Passo 4

Além disso, vamos verificar o elemento neutro da adição. O elemento neutro seria um vetor (a, b) + (e1, e2) = (a, b) tal que:
(a + e1, 0) = (a, b)
Usando a definição da adição:
Isso implica que e . A primeira equação nos diz que , mas a segunda equação só é válida se , o que não é verdade para todos os vetores em . Portanto, não existe um elemento neutro para a adição nesse conjunto.

Resposta

O conjunto com a adição e multiplicação escalar usual não é um espaço vetorial, pois a operação de adição não é comutativa e não existe um elemento neutro para a adição.

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