Nos itens a seguir são apresentados um conjunto com as operações de adição e multiplicação por escalar nele definidas. Verifique s eles são espaços vetoriais. Para aquele que não for, citar os axiomas que não se verificam.
(b)
e a multiplicação escalar usual.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos o conjunto
com duas operações: uma adição definida por
e a multiplicação por escalar sendo a usual, ou seja,
. Nosso objetivo aqui é verificar se esse conjunto com essas operações forma um espaço vetorial. Para isso, vamos precisar entender os axiomas que definem um espaço vetorial e ver se todos eles são satisfeitos.
Passo 2
Vamos começar lembrando o que é um espaço vetorial. Basicamente, um espaço vetorial é um conjunto acompanhado de duas operações (adição e multiplicação por escalar) que satisfazem certos axiomas, como a existência de um elemento neutro, a comutatividade da adição, a distribuição da multiplicação escalar sobre a adição, entre outros.
Passo 3
Primeiro, vamos verificar o axioma da adição. Para que
seja um espaço vetorial, a adição precisa ser comutativa, ou seja,
deve ser igual a
. Vamos testar isso:
Para que seja comutativa, precisamos que
. Mas isso nem sempre é verdadeiro para todos os vetores
e
em
. Por exemplo, se tivermos
e
, então:
Aqui,
, então a adição não é comutativa.
Passo 4
Além disso, vamos verificar o elemento neutro da adição. O elemento neutro seria um vetor
tal que:
Usando a definição da adição:
Isso implica que
e
. A primeira equação nos diz que
, mas a segunda equação só é válida se
, o que não é verdade para todos os vetores em
. Portanto, não existe um elemento neutro para a adição nesse conjunto.
Resposta
O conjunto
com a adição
e multiplicação escalar usual não é um espaço vetorial, pois a operação de adição não é comutativa e não existe um elemento neutro para a adição.