Sejam
,
e
vetores de
.
© Determine o vetor
tal que
.
© Determine o vetor
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três vetores no espaço tridimensional
R^3 :
A base
beta é formada por esses vetores. A questão quer que encontremos o vetor
v tal que suas coordenadas na base
beta são:
Para resolver isso, vamos usar o conceito de combinação linear na base dada.
Passo 2
Lembrando, quando temos um vetor
v e uma base
beta = v1, v2, v3 , podemos escrever
v como uma combinação linear desses vetores:
onde
c1, c2, c3 são as coordenadas de
v na base
beta , ou seja,
[v]beta = c1 c2 c3 .
Passo 3
Na questão, já sabemos que:
Então, substituindo esses valores na combinação linear, temos:
Passo 4
Agora, vamos substituir os valores dos vetores
v1 ,
v2 e
v3 :
Vamos calcular cada termo separadamente.
Passo 5
Calculando cada multiplicação:
Passo 6
Agora, somamos os resultados:
Vamos somar componente por componente:
- Primeira componente:
2 + 0 + 0 = 2 - Segunda componente:
4 + (-3) + 0 = 1 - Terceira componente:
6 + (-6) + 4 = 4
Resposta
Portanto, o vetor
v é: