Sejam v1=(1,2,3), v2=(0,1,2) e v3=(0,0,1) vetores de R^3.
© Determine o vetor v in R^3 tal que [v]beta=[c2 -3 4].

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três vetores no espaço tridimensional R^3:
v1 = (1,2,3), v2 = (0,1,2), v3 = (0,0,1)
A base beta é formada por esses vetores. A questão quer que encontremos o vetor v tal que suas coordenadas na base beta são:
[v]beta = 2 -3 4
Para resolver isso, vamos usar o conceito de combinação linear na base dada.

Passo 2

Lembrando, quando temos um vetor v e uma base beta = v1, v2, v3, podemos escrever v como uma combinação linear desses vetores:
v = c1v1 + c2v2 + c3v3
onde c1, c2, c3 são as coordenadas de v na base beta, ou seja, [v]beta = c1 c2 c3 .

Passo 3

Na questão, já sabemos que:
[c1, c2, c3]^T = 2 -3 4
Então, substituindo esses valores na combinação linear, temos:
v = 2v1 - 3v2 + 4v3

Passo 4

Agora, vamos substituir os valores dos vetores v1, v2 e v3:
v = 2(1,2,3) - 3(0,1,2) + 4(0,0,1)
Vamos calcular cada termo separadamente.

Passo 5

Calculando cada multiplicação:
2v1 = 2 times (1,2,3) = (2,4,6) -3v2 = -3 times (0,1,2) = (0,-3,-6) 4v3 = 4 times (0,0,1) = (0,0,4)

Passo 6

Agora, somamos os resultados:
v = (2,4,6) + (0,-3,-6) + (0,0,4)
Vamos somar componente por componente:
  • Primeira componente: 2 + 0 + 0 = 2
  • Segunda componente: 4 + (-3) + 0 = 1
  • Terceira componente: 6 + (-6) + 4 = 4

Resposta

Portanto, o vetor v é:
v = (2, 1, 4)

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