Nos itens a seguir são dados um espaço vetorial
e um subconjunto
de
. Verifique se
é um subespaço vetorial de
.
(a)
.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um espaço vetorial
e um subconjunto
definido por todos os vetores
em
que satisfazem a equação
. Nosso objetivo é verificar se
é realmente um subespaço vetorial de
. Para isso, precisamos lembrar das condições que um subconjunto deve satisfazer para ser um subespaço: conter o vetor zero, ser fechado em adição e ser fechado em multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está em
. O vetor zero em
é
. Substituindo na equação
, temos:
Isso é verdade, então o vetor zero está em
.
Passo 3
Agora, vamos verificar se
é fechado em adição. Ou seja, se pegarmos dois vetores quaisquer em
, a soma deles também deve estar em
. Suponha que temos dois vetores
e
em
. Então:
A soma desses vetores é:
Vamos verificar se essa soma também satisfaz a equação:
Então, a soma está em
.
Passo 4
Por último, vamos checar se
é fechado na multiplicação por escalar. Isso significa que, se pegarmos qualquer vetor em
e multiplicarmos por um escalar
, o resultado também deve estar em
. Seja
em
e
um escalar qualquer. A multiplicação por
dá:
Vamos verificar a equação:
Portanto,
está em
.
Resposta
Como
contém o vetor zero, é fechado em adição e em multiplicação por escalar, concluímos que
é um subespaço vetorial de
.