Nos itens a seguir são dados um espaço vetorial V e um subconjunto W de V. Verifique se W é um subespaço vetorial de V.
(a) V=(R^3,+, cdot) ; W=(x, y, z) in R^3 / x+y+z=0.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um espaço vetorial e um subconjunto definido por todos os vetores em que satisfazem a equação . Nosso objetivo é verificar se é realmente um subespaço vetorial de . Para isso, precisamos lembrar das condições que um subconjunto deve satisfazer para ser um subespaço: conter o vetor zero, ser fechado em adição e ser fechado em multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está em 0 + 0 + 0 = 0 . O vetor zero em é . Substituindo na equação , temos:
Isso é verdade, então o vetor zero está em .

Passo 3

Agora, vamos verificar se x1 + y1 + z1 = 0 e x2 + y2 + z2 = 0 é fechado em adição. Ou seja, se pegarmos dois vetores quaisquer em u + v = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) , a soma deles também deve estar em (x1 + x2) + (y1 + y2) + (z1 + z2) = (x1 + y1 + z1) + (x2 + y2 + z2) = 0 + 0 = 0 . Suponha que temos dois vetores e em . Então:
A soma desses vetores é:
Vamos verificar se essa soma também satisfaz a equação:
Então, a soma está em .

Passo 4

Por último, vamos checar se c cdot u = (c x, c y, c z) é fechado na multiplicação por escalar. Isso significa que, se pegarmos qualquer vetor em c x + c y + c z = c (x + y + z) = c cdot 0 = 0 e multiplicarmos por um escalar , o resultado também deve estar em . Seja em e um escalar qualquer. A multiplicação por dá:
Vamos verificar a equação:
Portanto, está em .

Resposta

Como contém o vetor zero, é fechado em adição e em multiplicação por escalar, concluímos que é um subespaço vetorial de .

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