Sejam A=(rr1 & 2 0 & -1), B=(rrr0 & -3 & 4 1 & 2 & -1) e C=(rrr1 & 1 & 1 2 & -1 & 0). Determinar a matriz X tal que X+2 C=A^2(B-3 C).

Passo 1

Beleza, vamos resolver o problema juntos! A gente tem três matrizes , e , e precisa encontrar a matriz que satisfaz a equação . Vamos usar conceitos de multiplicação de matrizes e operações básicas com matrizes para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a equação nos pede. Queremos isolar X = A^2(B - 3C) - 2C , então vamos reorganizar a equação:
Então, precisamos calcular , depois , multiplicar essas duas matrizes e, por fim, subtrair .

Passo 3

Vamos calcular A = 1 & 2 0 & -1 , que é A^2 = A times A = 1 & 2 0 & -1 times 1 & 2 0 & -1 multiplicada por ela mesma. A matriz A^2 = 1 & 0 0 & 1 é:
A multiplicação de matrizes funciona multiplicando as linhas da primeira matriz pelas colunas da segunda.
Vamos calcular cada elemento de :
  • Elemento (1,1):
  • Elemento (1,2):
  • Elemento (2,1):
  • Elemento (2,2):
Então,

Passo 4

Agora, vamos calcular B = 0 & -3 & 4 1 & 2 & -1 e C = 1 & 1 & 1 2 & -1 & 0 . As matrizes 3C = 3 times 1 & 1 & 1 2 & -1 & 0 = 3 & 3 & 3 6 & -3 & 0 e B - 3C = 0 & -3 & 4 1 & 2 & -1 - 3 & 3 & 3 6 & -3 & 0 = 0-3 & -3-3 & 4-3 1-6 & 2-(-3) & -1-0 = -3 & -6 & 1 -5 & 5 & -1 são:
Primeiro, multiplicamos a matriz por 3:

[
3C = 3 \times


]
Agora, subtraímos de :

[
B - 3C =


]

Passo 5

Agora que temos A^2 = 1 & 0 0 & 1 e B - 3C = -3 & -6 & 1 -5 & 5 & -1 e A^2(B - 3C) = 1 & 0 0 & 1 times -3 & -6 & 1 -5 & 5 & -1 = -3 & -6 & 1 -5 & 5 & -1 , vamos multiplicá-las:
A multiplicação de por é direta porque é a matriz identidade:

[
A^{2}(B - 3C) =
\times


]
Isso porque multiplicar qualquer matriz pela identidade não muda a matriz original.

Passo 6

Agora, vamos substituir na equação inicial:
X = A^2(B - 3C) - 2C = -3 & -6 & 1 -5 & 5 & -1 - 2 times 1 & 1 & 1 2 & -1 & 0
Primeiro, calculamos 2C = 2 times 1 & 1 & 1 2 & -1 & 0 = 2 & 2 & 2 4 & -2 & 0 :

[
2C = 2 \times X = -3 & -6 & 1 -5 & 5 & -1 - 2 & 2 & 2 4 & -2 & 0 = -3-2 & -6-2 & 1-2 -5-4 & 5-(-2) & -1-0 = -5 & -8 & -1 -9 & 7 & -1


]
Agora, subtraímos de :

[
X =


]

Resposta

A matriz X = -5 & -8 & -1 -9 & 7 & -1 é:

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