Nos itens a seguir são apresentados um conjunto com as operações de adição e multiplicação por escalar nele definidas. Verifique s eles são espaços vetoriais. Para aquele que não for, citar os axiomas que não se verificam.
(d) e .

Passo 1

Beleza, vamos analisar o exercício! A gente tem o conjunto com duas operações definidas: uma adição e uma multiplicação por escalar específicas. Nosso objetivo aqui é verificar se esse conjunto com essas operações forma um espaço vetorial. Para isso, vamos precisar lembrar dos axiomas que definem um espaço vetorial e conferir se eles são todos satisfeitos nesse caso.

Passo 2

Primeiro, vamos ver como a adição e a multiplicação por escalar estão definidas:
  • Adição:
  • Multiplicação por escalar:
A adição parece padrão, mas a multiplicação por escalar está meio diferente. Agora, vamos relembrar os axiomas de um espaço vetorial para verificar um por um.

Passo 3

Os axiomas principais de um espaço vetorial são:
  1. Comutatividade da adição:
  2. Associatividade da adição:
  3. Existência do elemento neutro da adição: Existe um vetor tal que
  4. Existência de inversos aditivos: Para todo , existe tal que
  5. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição vetorial:
  6. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares:
  7. Compatibilidade da multiplicação por escalares:
  8. Elemento neutro da multiplicação por escalar:
Vamos conferir quais desses axiomas são satisfeitos e quais não são.

Passo 4

Vamos começar pelo axioma da comutatividade da adição. Como a adição é feita componente a componente da maneira usual, é satisfeito.
O axioma da associatividade da adição também é válido pelas mesmas razões.
O elemento neutro da adição é , pois ao somar qualquer vetor com ele, o resultado é o próprio vetor.
O inverso aditivo também existe, pois para qualquer , o inverso é , que ao somar com o original dá o zero.
Agora, vamos para a distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição vetorial:
Por outro lado:
Vemos que porque na multiplicação por escalar definida, apenas a primeira componente é multiplicada pelo escalar. Portanto, o axioma da distributividade da multiplicação por escalar não é satisfeito.

Passo 5

Como apenas um axioma já não está sendo satisfeito, isso já é suficiente para afirmar que com as operações dadas não é um espaço vetorial. Especificamente, o axioma da distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição vetorial não é válido nessa estrutura.

Resposta

Não, com as operações definidas não é um espaço vetorial porque não satisfaz o axioma da distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição vetorial.

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(e) .