Nos itens a seguir são apresentados um conjunto com as operações de adição e multiplicação por escalar nele definidas. Verifique s eles são espaços vetoriais. Para aquele que não for, citar os axiomas que não se verificam.
(d)
e
.
(d)
Passo 1
Beleza, vamos analisar o exercício! A gente tem o conjunto
com duas operações definidas: uma adição e uma multiplicação por escalar específicas. Nosso objetivo aqui é verificar se esse conjunto com essas operações forma um espaço vetorial. Para isso, vamos precisar lembrar dos axiomas que definem um espaço vetorial e conferir se eles são todos satisfeitos nesse caso.
Passo 2
Primeiro, vamos ver como a adição e a multiplicação por escalar estão definidas:
- Adição:
- Multiplicação por escalar:
A adição parece padrão, mas a multiplicação por escalar está meio diferente. Agora, vamos relembrar os axiomas de um espaço vetorial para verificar um por um.
Passo 3
Os axiomas principais de um espaço vetorial são:
- Comutatividade da adição:
- Associatividade da adição:
- Existência do elemento neutro da adição: Existe um vetor
tal que - Existência de inversos aditivos: Para todo
, existe tal que - Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição vetorial:
- Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares:
- Compatibilidade da multiplicação por escalares:
- Elemento neutro da multiplicação por escalar:
Vamos conferir quais desses axiomas são satisfeitos e quais não são.
Passo 4
Vamos começar pelo axioma da comutatividade da adição. Como a adição é feita componente a componente da maneira usual,
é satisfeito.
O axioma da associatividade da adição também é válido pelas mesmas razões.
O elemento neutro da adição é
, pois ao somar qualquer vetor com ele, o resultado é o próprio vetor.
O inverso aditivo também existe, pois para qualquer
, o inverso é
, que ao somar com o original dá o zero.
Agora, vamos para a distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição vetorial:
Por outro lado:
Vemos que
porque na multiplicação por escalar definida, apenas a primeira componente é multiplicada pelo escalar. Portanto, o axioma da distributividade da multiplicação por escalar não é satisfeito.
Passo 5
Como apenas um axioma já não está sendo satisfeito, isso já é suficiente para afirmar que
com as operações dadas não é um espaço vetorial. Especificamente, o axioma da distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição vetorial não é válido nessa estrutura.
Resposta
Não,
com as operações definidas não é um espaço vetorial porque não satisfaz o axioma da distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição vetorial.
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Sejam
e
bases ordenadas de
.
(b) Seja . Determine:
e
.
(b) Seja
Dadas as matrizes
e
:
calcular
calcular
Dadas as matrizes
e
, determine, se possível:
Nos itens a seguir são dados um espaço vetorial
e um subconjunto
de
. Verifique se
é um subespaço vetorial de
.
(e) .
(e)