Sejam alpha=(1,0),(0,1), beta=(-1,1),(1,1) e gamma=(3,-1),(1,3) bases ordenadas de R^2.
(b) Seja u=(2,3). Determine: [u]alpha,[u]beta e [u]gamma.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar as coordenadas do vetor em relação às bases ordenadas , e de . Aqui, estamos lidando com o conceito de mudança de base, que é uma parte importante da álgebra linear. Para isso, vamos precisar entender como expressar um vetor em termos de diferentes conjuntos de vetores que formam uma base.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as coordenadas de na base . A base é , que é a base padrão de . Nessa base, cada vetor já está expresso diretamente em termos das componentes e .

Passo 3

Para a base [u]alpha = 2 3 , a coordenada do vetor é simplesmente ele mesmo. Isso porque a base padrão usa os eixos e diretamente. Portanto:

Passo 4

Agora, vamos encontrar as coordenadas de u = a cdot (-1, 1) + b cdot (1, 1) na base - a + b = 2 a + b = 3 . Para isso, precisamos encontrar escalares e tais que:
Isso nos dá o sistema de equações:

Passo 5

Vamos resolver o sistema de equações:
- a + b = 2 (1) a + b = 3 (2)
Somando as duas equações:
(-a + b) + (a + b) = 2 + 3 2b = 5 b = 52
Substituindo a + 52 = 3 a = 3 - 52 a = 12 na equação (2):

Passo 6

Portanto, as coordenadas de [u]beta = 12 52 na base são:

Passo 7

Por fim, vamos encontrar as coordenadas de u = c cdot (3, -1) + d cdot (1, 3) na base 3c + d = 2 - c + 3d = 3 . Novamente, procuramos escalares e tais que:
Isso resulta no sistema de equações:

Passo 8

Resolvendo o sistema:
3c + d = 2 (3) - c + 3d = 3 (4)
Multiplicando a equação (3) por 3:
9c + 3d = 6 (5)
Subtraindo a equação (4) da equação (5):
9c + 3d - (-c + 3d) = 6 - 3 9c + 3d + c - 3d = 3 10c = 3 c = 310
Substituindo 3 cdot 310 + d = 2 910 + d = 2 d = 2 - 910 d = 1110 na equação (3):

Resposta

As coordenadas do vetor [u]alpha = 2 3 , [u]beta = 12 52 , e [u]gamma = 310 1110 nas bases ordenadas são:

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