Sejam e bases ordenadas de .
(b) Seja . Determine: e .

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar as coordenadas do vetor em relação às bases ordenadas , e de . Aqui, estamos lidando com o conceito de mudança de base, que é uma parte importante da álgebra linear. Para isso, vamos precisar entender como expressar um vetor em termos de diferentes conjuntos de vetores que formam uma base.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as coordenadas de na base . A base é , que é a base padrão de . Nessa base, cada vetor já está expresso diretamente em termos das componentes e .

Passo 3

Para a base , a coordenada do vetor é simplesmente ele mesmo. Isso porque a base padrão usa os eixos e diretamente. Portanto:

Passo 4

Agora, vamos encontrar as coordenadas de na base . Para isso, precisamos encontrar escalares e tais que:
Isso nos dá o sistema de equações:

Passo 5

Vamos resolver o sistema de equações:
Somando as duas equações:
Substituindo na equação (2):

Passo 6

Portanto, as coordenadas de na base são:

Passo 7

Por fim, vamos encontrar as coordenadas de na base . Novamente, procuramos escalares e tais que:
Isso resulta no sistema de equações:

Passo 8

Resolvendo o sistema:
Multiplicando a equação (3) por 3:
Subtraindo a equação (4) da equação (5):
Substituindo na equação (3):

Resposta

As coordenadas do vetor nas bases ordenadas são:

Exercícios relacionados

Dadas as matrizes e :
calcular
Observando somente os elementos dos conjuntos abaixo, explicar por que estes conjuntos de vetores são linearmente dependentes:
e ;
Nos itens a seguir são apresentados um conjunto com as operações de adição e multiplicação por escalar nele definidas. Verifique s eles são espaços vetoriais. Para aquele que não for, citar os axiomas que não se verificam.
(d) e .
Dadas as matrizes e , determine, se possível: