Sejam
e
bases ordenadas de
.
(b) Seja
. Determine:
e
.
(b) Seja
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar as coordenadas do vetor
em relação às bases ordenadas
,
e
de
. Aqui, estamos lidando com o conceito de mudança de base, que é uma parte importante da álgebra linear. Para isso, vamos precisar entender como expressar um vetor em termos de diferentes conjuntos de vetores que formam uma base.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as coordenadas de
na base
. A base
é
, que é a base padrão de
. Nessa base, cada vetor já está expresso diretamente em termos das componentes
e
.
Passo 3
Para a base
, a coordenada do vetor
é simplesmente
ele mesmo. Isso porque a base padrão usa os eixos
e
diretamente. Portanto:
Passo 4
Agora, vamos encontrar as coordenadas de
na base
. Para isso, precisamos encontrar escalares
e
tais que:
Isso nos dá o sistema de equações:
Passo 5
Vamos resolver o sistema de equações:
Somando as duas equações:
Substituindo
na equação (2):
Passo 6
Portanto, as coordenadas de
na base
são:
Passo 7
Por fim, vamos encontrar as coordenadas de
na base
. Novamente, procuramos escalares
e
tais que:
Isso resulta no sistema de equações:
Passo 8
Resolvendo o sistema:
Multiplicando a equação (3) por 3:
Subtraindo a equação (4) da equação (5):
Substituindo
na equação (3):
Resposta
As coordenadas do vetor
nas bases ordenadas são: