Nos itens a seguir são dados um espaço vetorial
e um subconjunto
de
. Verifique se
é um subespaço vetorial de
.
(d)
.
(d)
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um espaço vetorial
e um subconjunto
definido por todos os vetores
em
que satisfazem a relação
. Nosso objetivo é verificar se
é realmente um subespaço vetorial de
. Para isso, vamos precisar entender as propriedades que definem um subespaço vetorial e verificar se
as cumpre.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar quais são as condições para que um subconjunto
seja um subespaço vetorial de
:
- O vetor zero está em
. -
é fechado sob adição vetorial. -
é fechado sob multiplicação por escalar.
Vamos verificar cada uma dessas condições para o nosso
.
Passo 3
1. O vetor zero está em
:
O vetor zero em
é
. Vamos ver se ele satisfaz a condição
:
Isso é verdadeiro, então o vetor zero está em
.
Passo 4
2.
é fechado sob adição vetorial:
Vamos pegar dois vetores quaisquer em
:
sabendo que:
Vamos somar esses vetores:
Agora, verificamos se
também satisfaz a condição de
:
Isso é verdadeiro, então
é fechado sob adição vetorial.
Passo 5
3.
é fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar um vetor qualquer
em
e um escalar
. Sabemos que:
Multiplicando o vetor por
:
Vamos verificar se
também satisfaz a condição de
:
Isso é verdadeiro, então
é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Como
satisfaz todas as três condições necessárias, concluímos que
é um subespaço vetorial de
.
Exercícios relacionados
Em cada um dos problemas indique se o sistema é compatível (determinado ou indeterminado) ou incompatível, para isto, encontre a solução usando comparação, adição ou substituição (se tiver dúvidas pode consultar o seguinte link: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/sistemas-lineares .
Nos itens a seguir são apresentados um conjunto com as operações de adição e multiplicação por escalar nele definidas. Verifique s eles são espaços vetoriais. Para aquele que não for, citar os axiomas que não se verificam.
(a) e
, as operações usuais de
.
(a)
Em cada um dos problemas indique se o sistema é compatível (determinado ou indeterminado) ou incompatível, para isto, encontre a solução usando comparação, adição ou substituição (se tiver dúvidas pode consultar o seguinte link: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/sistemas-lineares .
Quais dos seguintes conjuntos
são subespaços vetoriais de
? Justifique sua resposta.
© é racional
.
©