Nos itens a seguir são dados um espaço vetorial e um subconjunto de . Verifique se é um subespaço vetorial de .
(d) .

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um espaço vetorial e um subconjunto definido por todos os vetores em que satisfazem a relação . Nosso objetivo é verificar se é realmente um subespaço vetorial de . Para isso, vamos precisar entender as propriedades que definem um subespaço vetorial e verificar se as cumpre.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar quais são as condições para que um subconjunto seja um subespaço vetorial de :
  1. O vetor zero está em .
  2. é fechado sob adição vetorial.
  3. é fechado sob multiplicação por escalar.
Vamos verificar cada uma dessas condições para o nosso .

Passo 3

1. O vetor zero está em :
O vetor zero em é . Vamos ver se ele satisfaz a condição :
Isso é verdadeiro, então o vetor zero está em .

Passo 4

2. é fechado sob adição vetorial:
Vamos pegar dois vetores quaisquer em :
sabendo que:
Vamos somar esses vetores:
Agora, verificamos se também satisfaz a condição de :
Isso é verdadeiro, então é fechado sob adição vetorial.

Passo 5

3. é fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar um vetor qualquer em e um escalar . Sabemos que:
Multiplicando o vetor por :
Vamos verificar se também satisfaz a condição de :
Isso é verdadeiro, então é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Como satisfaz todas as três condições necessárias, concluímos que é um subespaço vetorial de .

Exercícios relacionados

Nos itens a seguir são apresentados um conjunto com as operações de adição e multiplicação por escalar nele definidas. Verifique s eles são espaços vetoriais. Para aquele que não for, citar os axiomas que não se verificam.
(a) e , as operações usuais de .
Quais dos seguintes conjuntos são subespaços vetoriais de ? Justifique sua resposta.
© é racional .