Nos itens a seguir são dados um espaço vetorial V e um subconjunto W de V. Verifique se W é um subespaço vetorial de V.
(d) * V=(R^3,+, cdot) ; W=(x, y, z) in R^3 / x+3 y=z.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um espaço vetorial e um subconjunto definido por todos os vetores em que satisfazem a relação . Nosso objetivo é verificar se é realmente um subespaço vetorial de . Para isso, vamos precisar entender as propriedades que definem um subespaço vetorial e verificar se as cumpre.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar quais são as condições para que um subconjunto seja um subespaço vetorial de :
  1. O vetor zero está em .
  2. é fechado sob adição vetorial.
  3. é fechado sob multiplicação por escalar.
Vamos verificar cada uma dessas condições para o nosso .

Passo 3

1. O vetor zero está em 0 + 3 times 0 = 0 Rightarrow 0 = 0 :
O vetor zero em é . Vamos ver se ele satisfaz a condição :
Isso é verdadeiro, então o vetor zero está em .

Passo 4

2. u = (x1, y1, z1) e v = (x2, y2, z2) é fechado sob adição vetorial:
Vamos pegar dois vetores quaisquer em x1 + 3y1 = z1 e x2 + 3y2 = z2 :
u + v = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)
sabendo que:
(x1 + x2) + 3(y1 + y2) = z1 + z2
Vamos somar esses vetores:
x1 + 3y1 + x2 + 3y2 = z1 + z2
Agora, verificamos se (z1) + (z2) = z1 + z2 também satisfaz a condição de :
Isso é verdadeiro, então é fechado sob adição vetorial.

Passo 5

3. x + 3y = z é fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar um vetor qualquer ku = (k x, k y, k z) em k x + 3(k y) = k z e um escalar k(x + 3y) = k z . Sabemos que:
k z = k z
Multiplicando o vetor por :
Vamos verificar se também satisfaz a condição de :
Isso é verdadeiro, então é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Como satisfaz todas as três condições necessárias, concluímos que é um subespaço vetorial de .

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