Verificar quais dos seguintes subconjuntos são subespaços vetoriais do
:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer é verificar se o conjunto
é um subespaço vetorial do espaço
. Para isso, vamos usar alguns conceitos de álgebra linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Vamos precisar entender três coisas principais:
- Conjunto não vazio: O subespaço precisa ter pelo menos um vetor, geralmente o vetor zero.
- Fechado sob adição: Se você pegar dois vetores no conjunto, a soma deles também deve estar no conjunto.
- Fechado sob multiplicação por escalar: Se você multiplicar qualquer vetor do conjunto por um número real, o resultado também deve estar no conjunto.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se o conjunto
não está vazio. O jeito mais fácil de fazer isso é verificar se o vetor zero está em
. O vetor zero em
é
.
Agora, vamos checar se esse vetor está em
:
- Para
: Aqui, , o que não é maior que 0. - Para
: Aqui, , que não é menor que 0.
Então, o vetor zero não está em
.
Passo 3
Como o vetor zero não está no conjunto
, já podemos concluir que
não é um subespaço vetorial. Isso porque todo subespaço vetorial precisa, obrigatoriamente, conter o vetor zero.
Mesmo que a gente quisesse continuar verificando as outras condições (fechamento sob adição e multiplicação por escalar), não precisa, pois já falhamos na primeira condição.
Resposta
Não, o conjunto
não é um subespaço vetorial de
.