Verificar quais dos seguintes subconjuntos são subespaços vetoriais do R^4 :
S=(x, y, z, t) in R^4 / x>0, y<0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer é verificar se o conjunto é um subespaço vetorial do espaço . Para isso, vamos usar alguns conceitos de álgebra linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Vamos precisar entender três coisas principais:
  1. Conjunto não vazio: O subespaço precisa ter pelo menos um vetor, geralmente o vetor zero.
  2. Fechado sob adição: Se você pegar dois vetores no conjunto, a soma deles também deve estar no conjunto.
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se você multiplicar qualquer vetor do conjunto por um número real, o resultado também deve estar no conjunto.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se o conjunto não está vazio. O jeito mais fácil de fazer isso é verificar se o vetor zero está em . O vetor zero em é .
Agora, vamos checar se esse vetor está em :
  • Para : Aqui, , o que não é maior que 0.
  • Para : Aqui, , que não é menor que 0.
Então, o vetor zero não está em .

Passo 3

Como o vetor zero não está no conjunto , já podemos concluir que não é um subespaço vetorial. Isso porque todo subespaço vetorial precisa, obrigatoriamente, conter o vetor zero.
Mesmo que a gente quisesse continuar verificando as outras condições (fechamento sob adição e multiplicação por escalar), não precisa, pois já falhamos na primeira condição.

Resposta

Não, o conjunto não é um subespaço vetorial de .

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